Ограничена фунция

[martin.nikolov]

Дадена е фунцията [tex]f(x)=\log_2(1-x)+x+x^2+x^4+x^8+\cdots[/tex] за [tex]x\in\[0,1)[/tex], да се докаже, че е ограничена.

[martin123456]

ограничена отгоре:
[tex]x^{2^{n-1}} < x^n \forall n \in \mathbb{N}, n \ge 3 \Rightarrow x+x^2+x^4+x^8+\cdots < x+x^2+x^3+x^4+\cdots = \frac{x}{1-x}[/tex]. Разглеждаме [tex]g(x)=\log_{2}{(1-x)}+\frac{x}{1-x}[/tex]. Имаме [tex]g'(x)=-\frac{1}{(1-x)\ln{2}}+\frac{1}{(1-x)^2}=\frac{1}{1-x}(-\frac{1}{\ln{2}}+\frac{1}{1-x})[/tex]. Значи производната се анулира в [tex]1-x=\ln{2} \Leftrightarrow x=1-\ln{2} \approx 0.3 \in [0,1)[/tex]. Лесно се забелязва, че там имаме максимум. Значи [tex]g(x) \le g(1-\ln{2})=\log_{2}{(\ln{2})}+\frac{1-\ln{2}}{\ln{2}}[/tex]. Оттк следва, че [tex]f(x)[/tex] е ограничена отгоре.
ограничена отдолу:
като използваме, че [tex]\log_{2}{(1-x)}=\frac{1}{\ln{2}}(-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\cdots)[/tex] и че [tex]-\frac{x^n}{n}>-x^n[/tex] [tex]\Rightarrow \log_{2}{(1-x)} > \frac{1}{\ln{2}}(-x-x^2-x^3-\cdots)=\frac{-x}{\ln{2}(1-x)}[/tex]. Ясно, че тогава [tex]f(x) > \frac{-x}{\ln{2}(1-x)}+x=g(x)[/tex]. Имаме [tex]g'(x)=-\frac{1}{\ln{2}}\frac{1}{(1-x)^2}+1[/tex]. Анулира се за [tex](1-x)^2=\frac{1}{\ln{2}} \Leftrightarrow 1-x \approx \pm 1.2[/tex], т.е. в точки извън деф интервал. Имаме минимум в 0 [tex]\Rightarrow g(x)>g(0)=0 \Rightarrow f(x)>0[/tex].

[mkmarinov]

Решението ти е грешно. За х=0.5 функцията приема отрицателна стойност, т.е. f(x)>0 не е вярно.
Още повече, [tex]\frac{df(x)}{dx}=-\frac{1}{ln2}.\frac{1}{1-x}+x+x^2+x^4+...<-\frac{1}{1-x}+x+x^2+x^4+...<0; f(0)=0 => f(x) \le 0[/tex] => достатъчно е само да се покаже, че е ограничена отдолу.

[ptj]

Решението ти е грешно. За х=0.5 функцията приема отрицателна стойност, т.е. f(x)>0 не е вярно.
Още повече, [tex]\frac{df(x)}{dx}=-\frac{1}{ln2}.\frac{1}{1-x}+x+x^2+x^4+...<-\frac{1}{1-x}+x+x^2+x^4+...<0; f(0)=0 => f(x) \le 0[/tex] => достатъчно е само да се покаже, че е ограничена отдолу.

Май си изтървал една единица в първата производна.

[martin123456]

решението е нещо такова

[mkmarinov]

Решението ти е грешно. За х=0.5 функцията приема отрицателна стойност, т.е. f(x)>0 не е вярно.
Още повече, [tex]\frac{df(x)}{dx}=-\frac{1}{ln2}.\frac{1}{1-x}+x+x^2+x^4+...<-\frac{1}{1-x}+x+x^2+x^4+...<0; f(0)=0 => f(x) \le 0[/tex] => достатъчно е само да се покаже, че е ограничена отдолу.

Май си изтървал една единица в първата производна.

Всъщност е
[tex]f'(x)=-\frac{1}{ln2}\frac{1}{1-x}+1+x+x^3+x^7+...[/tex], което пак е отрицателно.

[ptj]

...Всъщност е
[tex]f'(x)=-\frac{1}{ln2}\frac{1}{1-x}+1+x+x^3+x^7+...[/tex], което пак е отрицателно.

Пак грешиш, пред нали има коефициенти пред [tex]x^n[/tex].
[tex](x^n)'[/tex]=[tex]nx^{n-1}[/tex]

[allier]

Няма какво толкова да се философства по тази задача - логаритъмът при x клонящо към 1 се разписва в ред по степени на x (като се интегрира производната например) и директно може да сметне функцията там. При x извън околност на 1-цата, функцията е очевидно ограничена.

[drago]

Няма какво толкова да се философства по тази задача - логаритъмът при x клонящо към 1 се разписва в ред по степени на x (като се интегрира производната например) и директно може да сметне функцията там. При x извън околност на 1-цата, функцията е очевидно ограничена.

Тази тема ми попадна случайно. Хубава задача и хич не е толкова рутинна.
ОК, развий го в ред, но според мен само ще се усложнят нещата.

[drago]

Задачата е много хубава, за да остане без решение! Само го маркирам, без подробните сметки.
Нека фиксираме x от [0;1), и нека k e ест, т.ч. 1-2^(-k)<= x < 1-2^(-k-1). Тогава логаритъма се оценява м/у (-k-1) и -k. Остава да намерим оценка за реда(примерно трябва да е м/у k-const и k+const). Както често става, разбиваме реда на 2 суми x^(2^i). Първата: за i:=0,...,k. Втората: за i:=k+1, k+2,.... Втората сума е ясна: ограничена е отдолу от 0 и отгоре от const.
Tънката част е в първата сума. За 0<=i<=k оценяваме (1-2^(-к))^2^i<=x^(2^i)<(1-2^(-k-1))^2^i: отгоре от 1, а отдолу използваме неравенството на Бернули (1+x)^n>=1+nx (за x>-1):(1-2^(-k))^2^i > 1-2^(i-k). Като сумираме получаваме търсената оценка за първата сума: отдолу от к-const, отгоре от k.
Остава да съберем нещата!