Решете СЛУ

[Евва]

Скрит текст: покажи

Искам да помогна на приятел , но затънах .

[tex]\begin{array}{|l} x_{1 }+ x_{2 }+ x_{3 }+ x_{4 }+ x_{5 } = 7\\ 3 x_{1 }+2 x_{2 } + x_{3 }+ x_{4 } -3 x_{5 } = -2 \\ x_{2 } +2 x_{3 }+2 x_{4 }+6 x_{5 } =23\\5 x_{1 }+4 x_{2 }+3 x_{3 }+3 x_{4 }- x_{5 }=12 \end{array}[/tex]

Стигнах до 2 уравнения с 5 неизвестни т.е.
1 1 1 1 1 7
0 1 2 2 6 23
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0

А сега накъде ,някакви насоки ?

[Davids]

Реално правилно си редуцирала и от написаното е очевидно, че и разширената матрица на системата, и матрицата от коефициентите имат равен ранг 2, което спрямо теоремата на Руше означава, че системата е съвместима (имаме решение). Остава да извадим втория ред от първия и да разчоплим, че да видим какво е то:

[tex]\begin{pmatrix}
1&0&-1&-1&-5\\
0&1&2&2&6
\end{pmatrix}x = \begin{pmatrix}-16 \\ 23\end{pmatrix}[/tex]

Сега можем да изразим:

[tex]\begin{array}{|l} x_1 = x_3 + x_4 + 5x_5 - 16 \\ x_2 = -2x_3-2x_4-6x_5 + 23 \end{array}[/tex]

с две думи, стандартния подход - взехме две фиксирани компоненти и оставяме три свободни (т.е. като параметри). Оттук общият ни резултантен вектор има вида:
$x = \begin{pmatrix}x_3 + x_4 + 5x_5 - 16 \\ -2x_3-2x_4-6x_5 + 23 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\-2\\1\\0\\0\end{pmatrix}x_3 + \begin{pmatrix}1\\-2\\0\\1\\0\end{pmatrix}x_4 + \begin{pmatrix}5\\-6\\0\\0\\1\end{pmatrix}x_5 + \begin{pmatrix}-16\\23\\0\\0\\0\end{pmatrix}$

Оттук вече си проличава, че пространството от решения е тримерно афинно векторно пространство със съответния базис и отместване.

[Евва]

Окончателният отговор как трябва да се запише ?

[Davids]

Окончателният отговор как трябва да се запише ?

Това е единият вариант в явен вид с директно равенство за произволни скалари $x_3, x_4, x_5$. Алтернативен запис може да е:
$x \in span\left(\left\{\begin{pmatrix}1\\-2\\1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\-2\\0\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}5\\-6\\0\\0\\1\end{pmatrix}\right\}\right) + \begin{pmatrix}-16\\23\\0\\0\\0\end{pmatrix}$

А някои го пишат и така:
$\left(x - \begin{pmatrix}-16\\23\\0\\0\\0\end{pmatrix}\right) \in span\left(\left\{\begin{pmatrix}1\\-2\\1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\-2\\0\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}5\\-6\\0\\0\\1\end{pmatrix}\right\}\right)$

Нещо не мога да го изкарам по-компактно с тоя LaTeX, но идеята е важна.

[Евва]

Сърдечно благодаря !