Как се решават такъв вид задачи ?

[Евва]

Дадени са точките А(1,3,0) , B(4,-1,2) ,C(3,2,-1) и векторът [tex]\vec{a}[/tex]=(-1,3,-3) .
Намерете а) [tex]\vec{AB}[/tex].[tex]\vec{a}[/tex] =? б) [tex]\vec{a}[/tex] x[tex]\vec{AC}[/tex] =? г) лицето на [tex]\triangle[/tex]АВС .

Ще се радвам ,ако някой реши задача подобна на тази .

[Гост]

добре, ама защо олимпиaди и състезания?

[nikola.topalov]

Точките [tex]A(x_0,y_0,z_0)[/tex] и [tex]B(x_1,y_1,z_1)[/tex] образуват вектор [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] с координати [tex](x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)[/tex], чиято дължина намираме по формулата
$$\left\Vert\overrightarrow{AB}\right\Vert=\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2+(z_1-z_0)^2}$$Отделно, ако имаме дадени векторите [tex]\vec{a}(a_1,a_2,a_3)[/tex] и [tex]\vec{b}(b_1,b_2,b_3)[/tex], то тяхното скаларно произведение пресмятаме по формулата $$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$$Векторното произведение [tex]\vec{a}\times\vec{b}[/tex] пък намираме с помощта на детерминанта:
$$\vec{a}\times\vec{b}=\mathrm{det}
\left(\begin{array}{lll}
\vec{e_{1}} & \vec{e_2} & \vec{e_{3}} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3
\end{array}\right)
$$ където [tex]\vec{e_1}[/tex], [tex]\vec{e_2}[/tex] и [tex]\vec{e_3}[/tex] са единичните вектори на дясно ориентирана ортонормирана база. Вижда се, че след развиване на детерминантата ще получим израз от вида [tex]x\vec{e}_{1}+y\vec{e}_{2}+z\vec{e}_{3}[/tex], което означава, че координатите на векторното произведение са [tex](x,y,z)[/tex]. Що се отнася до лицето на триъгълника, можем по два начина да го намерим.
Първи начин: Образуваме векторите [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] и [tex]\overrightarrow{AC}[/tex] и намираме техните дължини. Лицето на триъгълника е равно на полупроизведението от дължините на двата вектора, умножено по синуса на ъгъла между тях. Нека отбележим, че първо ще открием косинуса на ъгъла между двата вектора с помощта на скаларното произведение, а оттам и синуса с формулата [tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1[/tex].
Втори начин: Отново образуваме векторите [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] и [tex]\overrightarrow{AC}[/tex], но този път пресмятаме тяхното векторно произведение [tex]\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}[/tex]. Тогава лицето на триъгълника е равно на дължината на векторното произведение, разделена на две.

[Евва]

Сърдечно благодаря !