Задачи - висша математика

[Гост]

Здравейте,бихте ли ми помогнали с решението на следните задачи.Ако може по-подробно решение,тъй като искам да ги разбера.
Благодаря предварително!

Екранна снимка 2021-12-04 202104.png (111.28 KiB) Прегледано 395 пъти

[ammornil]

(1)
[tex]C=A.B=\begin{Vmatrix} a & 1 \\ 0 & 1-a \end{Vmatrix} . \begin{Vmatrix} 2 & a+1 \\ -a & 0 \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix} a.2+1.(-a) & a.(a+1)+1.0 \\ 0.2+(1-a).(-a) & 0.(a+1)+(1-a).0 \end{Vmatrix}[/tex]

[tex]C=\begin{Vmatrix} a & a(a+1) \\ -a(1-a) & 0 \end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix} a & a(a+1) \\ a(a-1) & 0 \end{Vmatrix}[/tex]

[tex]det(C)=a.0-a(a+1).a(a-1)=-a^{2}(a^{2}-1)[/tex]
[tex]det(C)\le0 \Rightarrow -a^{2}(a^{2}-1)\le0 \Rightarrow a^{2}(a^{2}-1)\ge0 \Rightarrow x \in (- \infty;-1] \cup [1;+ \infty )[/tex]
[tex][/tex]

[ammornil]

(2)
Понеже точката [tex]А(2;-1)[/tex] лежи на правите [tex]p[/tex]и [tex]q[/tex] следва, че координатите на точката удовлетворяват едновременно уравненията и на двете.

[tex]\begin{array}{|l} k.2 + (2-l).(-1) -5=0 \\ (k-1).2 +l.(-1)+1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 2k-2+l -5=0 \\ 2k-2-l+1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 2k+l -7=0 \\ 2k-l-1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 2k+l -7-( 2k-l-1)=0 \\ 2k-l-1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} 2k+l -7-2k+l+1=0 \\k=\frac{l+1}{2} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l}2l=6 \\ k=\frac{l+1}{2} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l}l=3 \\k=\frac{3+1}{2} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l}l=3 \\k=2 \end{array}[/tex]

Уравненията на правите приемат вида: [tex]p: 2x+2y-5=0; q: x+3y+1=0; r: -2x+2y-2=0[/tex]

Пресечната точка на правите [tex]p[/tex] и [tex]r[/tex] има за координати решенията на системата:
[tex]\begin{array}{|l} 2x+2y-5=0 \\ -2x+2y-2=0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 2x+2y-5 -2x+2y-2=0 \\ -2x+2y-2=0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 4y=7 \\ x=\frac{2(y-1)}{2}\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} y=\frac{7}{4}=1\frac{3}{4} \\ x=y-1=\frac{3}{4} \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

$$B\left(\frac{3}{4};1\frac{3}{4} \right)$$

[ammornil]

Мисля, че задача трета се решава така...

[tex]z=4x^{2}-6axy+y^{2}-2x+3[/tex]

[tex]\frac{\partial z}{\partial x}=8x-6ay-2[/tex]; [tex]\frac{\partial z}{\partial y}=2y-6ax[/tex];
Ако функцията има екстремуми, те са там където фунцкцията няма дефиниранa поне една първа частна производна ИЛИ всички първи чсатни производни са едновременно равни на нула.
Първите частни производни на функцията [tex]z=4x^{2}-6axy+y^{2}-2x+3[/tex] са дефинирани във всички точки на реално тримерно пространство.
Проверяваме кога са едновременно равни на 0.
[tex]\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial y}=0 \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 8x-6ay-2=0 \\ 2y-6ax = 0 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} 8x-6a(3ax)-2=0 \\ y = 3ax \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l}(8-18a^{2})x=2 \\ y = 3ax \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l}x=\frac{1}{4-9a^{2}} \\ y = \frac{3a}{4-9a^{2}} \end{array}[/tex]
За да не съществуват така дефинираните [tex](x_{0},y_{0})[/tex], знаменателят [tex]4-9a^{2}[/tex] трябва да е равен на нула. Оттук получаваме:
[tex]4-9a^{2}=0 \Rightarrow a=\pm\frac{2}{3}[/tex]- това са стойностите на параметъра, при които дадената фукция няма да има локални екстремуми.

[tex][/tex]
Алтернативно решение се получава когато се намерят вторите частни производни и се определи кога функцията [tex]\Delta (x,y)=\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}.\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}-\left(\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}\right)^{2}=0[/tex]

[tex]\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=8[/tex]; [tex]\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=2[/tex]; [tex]\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=-6a[/tex]
[tex]\Delta (x,y)=\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}.\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}-\left(\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}\right)^{2}=16-36a^{2}=4(4-9a^{2})[/tex]
Откъдето ако приравним [tex]\Delta (x,y)=0[/tex] получаваме същия отговор.

[tex][/tex]