Висша математика

[Гост]

Здравейте, някой може ли да помогне с обяснение стъпка по стъпка за тази задача, че не ни е ясно как стават действията. За пресечена точка на две прави. Формулата е (y-y1)(x2-x1)=(y2-y1)(x-x1). Бъркаме някъде с изразяването на x , y. Много благодаря.
3. Дадени са четири точки в равнината:
(1) А(2,3), В(1,4), С(3,5), D(4,6); (2) А(-2,3), В(2,4), С(5,5), D(8,6);
(3) А(2,5), В(1,-4), С(-3,2), D(0,7); (4) А(1,5), В(-2,7), С(7,14), D(1,-8);
(5) А(-1,4), В(2,-3), С(5,6), D(1,1); (6) А(-2,-5), В(4,3), С(-3,3), D(6,-1);
(7) А(5,3), В(-2,-3), С(1,-5), D(-3,5); (8) А(-2,7), В(1,1), С(-3,-2), D(5,4);
(9) А(3,-3), В(6,2), С(-1,4), D(-5,4); (10) А(2,-1), В(5,7), С(-2,4), D(3,-4).
Да се намерят:

в) координатите на пресечната точка Р на правите АВ и CD.

[KOPMOPAH]

Объркването идва оттам, че това е формулата на права, зададена чрез координатите на две нейни точки, а не координатите на пресечената точка.

За първата подточка имаме $A(2,3)$ и $B(1,4)$, значи правата, минаваща през двете точки има уравнение$$(y-y_A)(x_B-x_A)=(y_B-y_A)(x-x_A)$$Заместваме с дадените координати $A(2,3)$ и $B(1,4)$. Получаваме$$(y-3)(1-2)=(4-3)(x-2)\Rightarrow x+y=5~~~~(1)$$Последното равенство е уравнението на правата, минаваща през двете точки.

Аналогично от $C(3,5)$, $D(4,6)$ имаме$$(y-y_C)(x_D-x_C)=(y_D-y_C)(x-x_C)\Rightarrow x-y=2~~(2)$$От равенствата $(1)$ и $(2)$ съставяме система$$\begin{array}{|l} x + y = 5 \\ x - y = -2 \end{array}$$чиито решения са координатите на пресечената точка на двете прави.

Скрит текст: покажи

Пресичат се в т.$P(1,5;3,5)$

Аналогично за всичките останали задачи. Успех!

При желание мога да го илюстрирам с Великата GeoGebra

[ammornil]

Права през две точки с дадени координати [tex]M_{0}(x_{0};y_{0})[/tex] и [tex]M_{1}(x_{1};y_{1})[/tex] се задава с равенството (1) [tex]q: \frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}=\frac{y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}[/tex].
От този израз може да се определи каноничното уравнение на правата (2) [tex]p: ax+by+c=0[/tex].

Бихме могли да немерим на какво ще са равни коефициентите и свободния член чрез кординатите на точките, но това в същност прави практическите решения по-сложни. Затова, когато имаме дадени две точки, заместваме в равенство (1) и оттам чрез умножение на кръст намираме равенство (2).

От уравнение (2) се извежда така нареченото Декартово уравнение (или нормално уравнение) на правата (3): [tex]y=\frac{-a}{b}x+\frac{-c}{b}=kx+n[/tex]

Важно е да запомним, че ако две прави имат равни коефициенти пред [tex]x[/tex] и равни коефициенти пред [tex]y[/tex] в каноничните си уравнение (равни коефициенти [tex]k[/tex] в декартовите си уравнения), то правите са упоредни помежду си, тоест нямат обща (пресечна) точка.

Да дадем пример със задача 1.
Задача 1) (1) А(2,3), В(1,4), С(3,5), D(4,6);

[tex]\begin{array}{l} А(2,3) \in p \\ В(1,4) \in p \end{array} \Rightarrow p: \frac{x-2}{1-2}=\frac{y-3}{4-3} \Rightarrow 1(x-2)=(-1)(y-3) \Rightarrow x-2+y-3=0 \Rightarrow p: x+y-5=0[/tex]

[tex]\begin{array}{l} С(3,5) \in q \\ D(4,6) \in q \end{array} \Rightarrow q: \frac{x-3}{4-3}=\frac{y-5}{6-5} \Rightarrow 1(x-3)=1(y-5) \Rightarrow x-3-y+5=0 \Rightarrow p: x-y+2=0[/tex]

[tex]p \cap q = M(x_{_{M}};y_{_{M}}) \Rightarrow \begin{array}{|l} x_{_{M}}+y_{_{M}}-5=0 \\ x_{_{M}}-y_{_{M}}+2=0 \end{array}[/tex], за улеснение при решаване на системата се изпуска индекса с името на пресечната точка, но смисълът на дадената система е "координатите на пресечната точка на правите с дадени уравнения".

[tex]\begin{array}{|l} x+y-5=0 \\ x - y+2=0 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} x=5-y \\ 5-y- y+2=0 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} x=5-y \\ 2y=7 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} x=5-\frac{7}{2}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2} \\ y=\frac{7}{2}=3\frac{1}{2} \end{array}[/tex]

$$ p \cap q = M \left(1\frac{1}{2};3\frac{1}{2}\right) $$

[Гост]

Супер, много благодарим. А системата също трябва да се реши, нали така..x, y = 3/2 , 7/2. Така ги получихме, дано са верни. Благодарим още веднъж.

[Гост]

ammornil , и на теб много благодаря за подробното разяснение. Точно такъв пример ми трябваше, да схванем горе долу как стават.

[Гост]

Така ли са следващите задачи, понеже се получава с минус. Трябва ли да се освобождаваме от него или не е задължително. Благодаря ви още веднъж.

[Гост]

3та зад.

[ammornil]

Така ли са следващите задачи, понеже се получава с минус. Трябва ли да се освобождаваме от него или не е задължително. Благодаря ви още веднъж.

Аз лично обичам да започвам търсенето на норманото уравнение оттук:
[tex]\begin{array}{|l} А(7;9) \in p \\ В(-2;1) \in p \end{array} \Rightarrow p: \frac{x-7}{-2-7}=\frac{y-9}{1-9} \Leftrightarrow -8(x-7)=-9(y-9) \Leftrightarrow[/tex]

[tex]-8(x-7)+9(y-9)=0 \Leftrightarrow -8x+56+9y-81=0 \Rightarrow p: -8x+9y-25=0[/tex].

Аз лично, предпочитам да оставям уравненията във вида, в който съм ги получил. Ако умножите с минус едно, това няма да промени разположението на правата в равнината, но трябва да се внимава всички знаци да се обърнат с противоположните им. Преобразуваното уравнение на правата ще има вида: [tex]p: 8x-9y+25=0[/tex]. Това, както казах не променя правата, ще доведе до малко по-различни сметки в системата за пресечната точка, но до същия краен резултат.

[tex]\begin{array}{|l} C(5;5) \in q \\ D(8;6) \in q \end{array} \Rightarrow q: \frac{x-5}{8-5}=\frac{y-5}{6-5} \Leftrightarrow 1(x-5)=3(y-5) \Leftrightarrow x-5-3(y-5)=0 \Leftrightarrow x-5-3y+15=0 \Rightarrow q: x-3y+10 = 0[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} -8x+9y-25=0 \\ x-3y+10 = 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} -8(3y-10)+9y-25=0 \\ x=3y-10 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} -24y+80+9y-25=0 \\ x=3y-10 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} -15y=-55 \\ x=3y-10 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} y=\frac{11}{3}=3\frac{2}{3} \\ x=3.\frac{11}{3}-10=1 \end{array}[/tex]
$$ M\left(1; 3\frac{2}{3} \right)$$

Принципът е верен, отговорът също, но...
Допуснали сте двойна грешка в знаците за правата определена от точки А(7;9) и В(-2;1), което в довело до верен отговор за уравнението на правата.
Забележете, че на единия ред (срещу задрасканото) знакът пред 81 е записан като плюс, което е грешно, но на следващия ред магически става верният знак минус.

---
зад3)
[tex]\begin{array}{|l} А(2;5) \in p \\ В(1;-4) \in p \end{array} \Rightarrow p: \frac{x-2}{1-2}=\frac{y-5}{-4-5} \Leftrightarrow -9(x-2)=-1(y-5) \Leftrightarrow[/tex]

[tex]-9x+18+(y-5)=0 \Rightarrow p: -9x+y+13=0[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} C(-3;2) \in q \\ D(0;7) \in q \end{array} \Rightarrow q: \frac{x-(-3)}{0-(-3)}=\frac{y-2}{7-2} \Leftrightarrow 5(x+3)=3(y-2) \Leftrightarrow 5x+15-3(y-2)=0 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]5x+15-3y+6=0 \Rightarrow q: 5x-3y+21=0[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} -9x+y+13=0 \\ 5x-3y+21=0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} y=9x-13 \\ 5x-3(9x-13)+21=0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l}y=9x-13 \\ 5x-27x+39+21 = 0 \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\begin{array}{|l}y=9x-13 \\ -22x=-60 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l}y=9.\frac{30}{11}-13=\frac{9.30-13.11}{11}=\frac{127}{11}=11\frac{6}{11} \\ x=\frac{30}{11}=2\frac{8}{11}\end{array}[/tex]

$$ M\left(2\frac{8}{11};11\frac{6}{11} \right)$$

Струва ми се, че сте допуснали грешка при определянето на знака на произведение от две отрицателни числа: [tex]-3(y-2)=-3y-3.(-2)=-3y+6[/tex], оттам и уравнението на втората права е сгрешено.

[tex][/tex]

[Гост]

Може ли 4-та подточка

[ammornil]

зад4)[tex]А(1;5), В(-2;7), С(7;14), D(1;-8)[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} А(1;5) \in p \\ В(-2;7) \in p \end{array} \Rightarrow p: \frac{x-1}{-2-1}=\frac{y-5}{7-5} \Leftrightarrow 2(x-1)=-3(y-5) \Leftrightarrow[/tex]

[tex]2x-2+3(y-5)=0 \Rightarrow p: 2x+3y-17=0[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} C(7;14) \in q \\ D(1;-8) \in q \end{array} \Rightarrow q: \frac{x-7}{1-7}=\frac{y-14}{-8-14} \Leftrightarrow -22(x-7)=-6(y-14) \Leftrightarrow -22x+154+6(y-14)=0 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]-22x+154+6y-84=0 \Rightarrow q: -22x+6y+70=0[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} 2x+3y-17=0 |.(-2) \\ -22x+6y+70=0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} -4x-6y+34=0 \\ -22x+6y+70=0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l}-26x+104=0 \\ 2x+3y-17=0 \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} x=4 \\ 8+3y=17 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x=4 \\ y=3 \end{array}[/tex]

$$ M (4;3)$$

[tex][/tex]

Screenshot 2022-11-18 202453.png (37.88 KiB) Прегледано 1430 пъти