Градиент, локални екстремуми

[Гост]

Здравейте, спешно се нуждаем от помощ за тази задачка. Мнооого благодарско на помогналите.

[nikola.topalov]

Ще използваме стандартните означения за единичните вектори на дясно ориентирана ортонормирана база [tex]-[/tex] [tex]\vec{e_1}[/tex] и [tex]\vec{e_2}[/tex]. За градиента на дадената функция, която за удобство ще означа с [tex]f(x,y)[/tex], имаме $$\nabla f=\dfrac{\partial f}{\partial x}\vec{e_1}+\dfrac{\partial f}{\partial y}\vec{e_2}=(2x+y)\vec{e_1}+(x+2y+3)\vec{e_2}$$ И така [tex]\nabla f(2,4)=8\vec{e_1}+13\vec{e_2}[/tex], с което сме готови с първата част на задачата.

Вече сме намерили [tex]\dfrac{\partial f}{\partial x}=2x+y[/tex] и [tex]\dfrac{\partial f}{\partial y}=x+2y+3[/tex], приравняваме ги на нула и получаваме системата $$\begin{array}{|l} 2x + y = 0 \\ x +2y+3 = 0 \end{array}\iff \begin{array}{|l} x=1 \\ y=-2 \end{array}$$ Следователно функцията [tex]f[/tex] има една критична точка, а именно [tex](1,-2)[/tex]. Пресмятаме вторите частни производни [tex]\dfrac{\partial ^2 f}{\partial x^2}=\dfrac{\partial ^2 f}{\partial y^2}=2[/tex] и [tex]\dfrac{\partial ^2 f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial ^2 f}{\partial y\partial x}=1[/tex]. Тогава $$\Delta (x,y)=\det\begin{pmatrix} \dfrac{\partial ^2 f}{\partial x^2} & \dfrac{\partial ^2 f}{\partial x\partial y} \\ \dfrac{\partial ^2 f}{\partial y\partial x} & \dfrac{\partial ^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} =3$$ Понеже [tex]\Delta (1,-2)=3>0[/tex], то в тази точка функцията има локален екстремум и по-точно локален минимум (защо?).