Числови редици

[toti123]

Да се намери границата на редицата с общ член:
a) [tex]c_{n }[/tex]=[tex]\frac{1}{ \sqrt{ n^{2 } +1} }[/tex]+[tex]\frac{1}{ \sqrt{ n^{2 } +2} }[/tex]+...+[tex]\frac{1}{ \sqrt{ n^{2 } +n} }[/tex]

б) [tex]\lim_{n \to \infty } \frac{ a_{k } n^{k }+ a_{k-1 } n^{k-1 }+...+ a_{0 } }{b_{l } n^{l }+ b_{l-1 } n^{l-1 }+...+ b_{0}}[/tex], [tex]a_{k } \ne[/tex]0, [tex]b_{l } \ne[/tex]0

[peyo]

Да се намери границата на редицата с общ член:
a) [tex]c_{n }[/tex]=[tex]\frac{1}{ \sqrt{ n^{2 } +1} }[/tex]+[tex]\frac{1}{ \sqrt{ n^{2 } +2} }[/tex]+...+[tex]\frac{1}{ \sqrt{ n^{2 } +n} }[/tex]

$ c_{n } = \frac{1}{ \sqrt{ n^{2 } +1} } + \frac{1}{ \sqrt{ n^{2 } +2} } +...+ \frac{1}{ \sqrt{ n^{2 } +n} } = \frac{1}{n \sqrt{ 1 +1/n^2} } + \frac{1}{n \sqrt{ 1 +2/n^2} } +...+ \frac{1}{ n\sqrt{ 1 +n/n^2} } = (1/n)( \frac{1}{ \sqrt{ 1 +1/n^2} } + \frac{1}{ \sqrt{ 1 +2/n^2} } +...+ \frac{1}{ \sqrt{ 1 +n/n^2} } ) = (1/n)(1 + 1 + ... +1) = (n/n) = 1$

Да проверим:

In [220]: for n in range(10,100000,10000):
...: print( n,sum( [ 1/math.sqrt(n**2+k) for k in range(1,n+1)]))
...:
10 0.9738556434509459
10010 0.99997502372763
20010 0.9999875059347015
30010 0.9999916693047277
40010 0.9999937514840259
50010 0.9999950009498227
60010 0.9999958339929512
70010 0.9999964290560578
80010 0.9999968753710496
90010 0.9999972225153997

[pipi langstrump]

[tex](1/n)( \frac{1}{ \sqrt{ 1 +1/n^2} } + \frac{1}{ \sqrt{ 1 +2/n^2} } +...+ \frac{1}{ \sqrt{ 1 +n/n^2} } ) = (1/n)(1 + 1 + ... +1)[/tex]

Това как стана?

[peyo]

[tex](1/n)( \frac{1}{ \sqrt{ 1 +1/n^2} } + \frac{1}{ \sqrt{ 1 +2/n^2} } +...+ \frac{1}{ \sqrt{ 1 +n/n^2} } ) = (1/n)(1 + 1 + ... +1)[/tex]

Това как стана?

Това нещо такова: [tex]\lim_{n \to \infty } \sum_{k=1}^{ n }\frac{1}{ \sqrt{ 1 +k/ \infty ^2} } \approx \lim_{n \to \infty } \sum_{k=1}^{ n }\frac{1}{ \sqrt{ 1 +1/ \infty } } = n[/tex]

Да, може би е малко съмнително, затова направих проверката.

Да се намери границата на редицата с общ член:
б) [tex]\lim_{n \to \infty } \frac{ a_{k } n^{k }+ a_{k-1 } n^{k-1 }+...+ a_{0 } }{b_{l } n^{l }+ b_{l-1 } n^{l-1 }+...+ b_{0}}[/tex], [tex]a_{k } \ne[/tex]0, [tex]b_{l } \ne[/tex]0

$ \lim_{n \to \infty } \frac{ a_{k } n^{k }+ a_{k-1 } n^{k-1 }+...+ a_{0 } }{b_{l } n^{l }+ b_{l-1 } n^{l-1 }+...+ b_{0}} , a_{k } \ne 0, b_{l } \ne 0$

Изваждаме най-големите степени напред:

$ \lim_{n \to \infty } \frac{ n^{k }(a_{k } + a_{k-1 }/ n+...+ a_{0 }/n^{l }) }{n^{l }(b_{l } + b_{l-1 }/ n+...+ b_{0}/n^{l }} = \frac{ a_kn^{k }}{b_l n^{l }}$

И сега ако k=l имаме отговор $\frac{ a_k}{b_l }$. Във всички останали случаи е 0 или [tex]\pm \infty[/tex]

[grav]

[tex]c_{n }[/tex]=[tex]\frac{1}{ \sqrt{ n^{2 } +1} }[/tex]+[tex]\frac{1}{ \sqrt{ n^{2 } +2} }[/tex]+...+[tex]\frac{1}{ \sqrt{ n^{2 } +n} }[/tex]

Първо

[tex]n^2+k\ge n^2[/tex]

[tex]\frac1{\sqrt{n^2+k}}\le \frac1{\sqrt{n^2}}=\frac1n[/tex]

[tex]c_n=\sum\frac1{\sqrt{n^2+k}}\le \sum\frac1n=1[/tex]

Второ

[tex]n^2+k\le n^2+n[/tex]

[tex]\frac1{\sqrt{n^2+k}}\ge \frac1{\sqrt{n^2+n}}[/tex]

[tex]c_n=\sum\frac1{\sqrt{n^2+k}}\ge \sum\frac1{\sqrt{n^2+n}}=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}=\frac1{\sqrt{1+\frac1n}}[/tex]

Заедно

[tex]\frac1{\sqrt{1+\frac1n}}\le c_n\le 1[/tex]

От тук границата е ясна.

[toti123]

Ще може ли по-подробно решение?

[pipi langstrump]

Ще може ли по-подробно решение?

Колко по-подробно от това на grav? Ползваш лемата за двамата полицаи и виждаш, че границата е 1. А тая задача я има във всеки сборник, учебник и каквото се сетиш помагало по диференциално и интегрално смятане.