Задача за доказване

[Гост]

Screenshot_20220125_195132_com.huawei.browser_edit_1037877009108818.jpg (111.85 KiB) Прегледано 833 пъти

[peyo]

Screenshot_20220125_195132_com.huawei.browser_edit_1037877009108818.jpg

б)

[tex]\lim_{n \to \infty } \sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+n+k} = \frac{n \sum_{k=1}^{n} \prod_{j=1, j \ne k}^{n } (n^2+n+j)}{ \prod_{k=1}^{n } (n^2+n+k) }[/tex]

И сега да видим какво имаме тук?! Отдолу като отворим ввсички скоби ще имаме полином $n^{2n}$ степен. Отгоре всяко произведение ще е от $n^{2(n-1)}$ степен, ще имаме n на брой такива и стават $nn^{2(n-1)}$, преди сумата има още едно n, слагаме го и стават $n^2n^{2(n-1)} =n^{2n}$

[tex]\lim_{n \to \infty} c_n = \lim_{n \to \infty } \sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+n+k} = \frac{n^{2n} + полином_от_по_малка_степен}{n^{2n} + полином_от_по_малка_степен} = 1[/tex]