Ъгъл между две прави - коефициент

[Гост]

Здравейте
Бих искала да помоля за помощ.
Имам следната задача и искам, ако е възможно, някой да ми обясни как се получават въпросните коефициенти:

задаяа1.PNG (48.63 KiB) Прегледано 1311 пъти

задаяа2.PNG (89.25 KiB) Прегледано 1311 пъти

[ammornil]

::::::::::::::::: НЕОБХОДИМА ТЕОРИЯ :::::::::::::::::::::::::::::::::::
В правоъгълна координатна система [tex]Oxy, \vec{Ox}\bot \vec{Oy}[/tex], уравнение на правата [tex]p[/tex] се нарича линейно уравнение от вида [tex]p: ax+by+c=0[/tex], където [tex](x;y)[/tex] са координатите на коя да е точка от правата [tex]p[/tex]. Чете се: "права [tex]p[/tex] с уравнение [tex]ax+by+c=0[/tex]".
С други думи, ако имаме дадена точка [tex]A(x_{A};y_{A}),[/tex] тя лежи на правата [tex]p[/tex] тогава и само тогава, когато замествайки с координатите на А в уравнението на [tex]p[/tex] получаваме вярно числово равенство.
Това се записва така: [tex]\because \begin{array}{|l} p: ax+by+c=0 \\ A(x_{A};y_{A}) \in p \end{array} \Rightarrow a.x_{A}+b.y_{A}+c=0[/tex]

Това уравнение може да се представи като функция, спрямо [tex]y[/tex] във вида [tex]p: y=kx+m,[/tex] където [tex]\large \begin{cases} k=-\frac{a}{b} \\ m=-\frac{c}{b} \end{cases}[/tex]
Преведено за точка от правата имаме: [tex]\because \begin{array}{|l} p: y=kx+m \\ A(x_{A};y_{A}) \in p \end{array} \Rightarrow y_{A}=k.x_{A}+m[/tex]. По друг начин това може да се запише като [tex]y-y_{A}=k(x-x_{A})[/tex]

220227_001.png (11.24 KiB) Прегледано 1275 пъти

[tex]k[/tex] се нарича налкон на правата, като [tex]k=\tg \alpha,[/tex] където [tex]\alpha[/tex] е ъгълът, който правата сключва с положителната посока на координатната ос [tex]\vec{Ox}[/tex]. Върхът на ъгъл [tex]\alpha[/tex] е тази точка от правата, за която [tex]y=0[/tex].
[tex]m[/tex] се нарича отрез, и показва точката в която правата пресича оста [tex]\vec{Oy}[/tex], тоест точката от правата за която [tex]x=0[/tex].

220227_002.png (21.15 KiB) Прегледано 1275 пъти

Две прави [tex]p_{1}: y_{1}=k_{1}x+m_{1}[/tex] и [tex]p_{2}: y_{2}=k_{2}x+m_{2}[/tex] , които не са успоредни помежду си, се пресичат точно в една точка [tex]P(x_{P},y_{P})[/tex], за която [tex]k_{1}x_{P}+m_{1}=k_{2}x_{P}+m_{2}[/tex]. Оттук се намира [tex]x_{P}[/tex] и се замества в кое да от уравненията на дадените прави за да се намери [tex]y_{P}[/tex].
Две прави [tex]p_{1}: y_{1}=k_{1}x+m_{1}[/tex] и [tex]p_{2}: y_{2}=k_{2}x+m_{2}[/tex] са успоредни помежду си ако [tex]k_{1}=k_{2}[/tex].
Две прави [tex]p_{1}: y_{1}=k_{1}x+m_{1}[/tex] и [tex]p_{2}: y_{2}=k_{2}x+m_{2}[/tex] са перпендикулярни помежду си, ако [tex]k_{1}.k_{2}=-1[/tex], което може да се запиша също като [tex]k_{1}=-\frac{1}{k_{2}}[/tex].

Ако две прави [tex]p_{1}: y_{1}=k_{1}x+m_{1}[/tex] и [tex]p_{2}: y_{2}=k_{2}x+m_{2}[/tex] се пресичат, то тангенсът на ъгъла между тях се определя по формулата: [tex]\tg \varphi =\frac{k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}[/tex].
::::::::::::::::::::::::::::::::::::: КРАЙ НА ТЕОРИЯТА :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

[ammornil]

Дадено: [tex]\vec{Oxy}; \phantom{QQ} p: 2x-y+1=0; \phantom{QQ} p\cap q = \angle 45 ^\circ; \phantom{QQ} A(2;3) \in q[/tex]
Да се намери уравнението на правата [tex]q[/tex].

Да запишем уравненията на двете прави (дадената и търсената) в отрезни уравнения от вида [tex]y=k_{i}x+m_{i}[/tex]
[tex]\begin{array}{l} p: y= 2x+1 \\ q: y = k_{2}x+m_{2} \end{array}[/tex]
От така записаните равенства се вижда, че [tex]k_{1}=2, m_{1}=1[/tex]
Понеже правите по условие се пресичат под определен ъгъл, следва че тангенсът на този ъгъл може да се изрази чрез наклоните на двете прави. Понеже знаем ъгъла и наклона на едната права, ще можем да изчислим наклона на втората права. Важно е да уточним, че при пресичането на правите се получават четири ъгъла, два по два съседните ъгъли се допълват взаимно до [tex]180^\circ[/tex], а кръстните са равни помежду си. В зависимост от това как вземем наконите на правите в числителя, ще получим две стойности за тангенса, които в общия случай ще се различават по знак (минус за тъпия ъгъл обрззуван между правите, и плюс за острия ъгъл образуван между правите). В практиката е прието да се разгледжа острия ъгъл, когато говорим за "ъгъл между правите".

Освен това, през дадена точка може да минава повече от една права, която да сключва с дадена друга права определен ъгъл. Следва да разгледаме два случая с различен ред на вземане на наклоните в числителя за тангенса на ъгъла между правите.

В нашия случай:
(1сл) [tex]\tg{\varphi} = \frac{k_{2}-k_{1}}{1+k_{2}.k_{1}} \Rightarrow \tg{45 ^\circ} = \frac{2-k_{1}}{1+2.k_{1}} \Leftrightarrow 1=\frac{2-k_{1}}{1+2.k_{1}} \Leftrightarrow 1+2.k_{1}=2-k_{1} \Leftrightarrow 2.k_{1}+k_{1}=2-1 \Leftrightarrow k_{1}=\frac{1}{3}[/tex]

Тогава уравнението на правта [tex]q[/tex] придобива вида [tex]q: y=\frac{1}{3}x+m_{2}[/tex]

Понеже точката [tex]A(2;3) \in q \Leftrightarrow y_{A}=\frac{1}{3}x_{A}+m_{2}[/tex]. Заместваме координатите на точката за да немерим [tex]m_{2}[/tex]
[tex]3=\frac{1}{3}.2+m_{2} \Rightarrow m_{2}=3-\frac{2}{3} \Rightarrow m=\frac{7}{3}[/tex]

Отрезното уравнение на правата стана: [tex]y=\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}[/tex], откъдето като прехвърлим всичко отляво на равенството и направим НОК получаваме Декартовата му форма: [tex]q: -x+3y-7=0[/tex]

(2сл) [tex]\tg{\varphi} = \frac{k_{1}-k_{2}}{1+k_{2}.k_{1}} \Rightarrow \tg{45 ^\circ} = \frac{k_{1}-2}{1+2.k_{1}} \Leftrightarrow 1=\frac{k_{1}-2}{1+2.k_{1}} \Leftrightarrow 1+2.k_{1}=k_{1}-2 \Leftrightarrow 2.k_{1}-k_{1}=-2-1 \Leftrightarrow k_{1}=-3[/tex]

Тогава уравнението на правта [tex]q[/tex] придобива вида [tex]q: y=-3x+m_{2}[/tex]

Понеже точката [tex]A(2;3) \in q \Leftrightarrow y_{A}=-3x_{A}+m_{2}[/tex]. Заместваме координатите на точката за да немерим [tex]m_{2}[/tex]
[tex]3=-3.2+m_{2} \Rightarrow m_{2}=3+6 \Rightarrow m=9[/tex]
Отрезното уравнение на правата стана: [tex]y=-3x+9[/tex], откъдето като прехвърлим всичко отляво на равенството получаваме Декартовата му форма: [tex]q: 3x+y-9=0[/tex]