Задача от Аналитична геометрия

[Какаши Сенсей]

Напишете уравнението на правата БЦ, ако две от височините на АБЦ са върху правите с уравнение 2х - 3у + 1 = 0 и х + y = 0 и т.А(1; 2)

На мене тези задачи с височини много ме затрудняват; може ли някой да предложи даден алгоритъм по който се рашават ?

[peyo]

Напишете уравнението на правата БЦ, ако две от височините на АБЦ са върху правите с уравнение 2х - 3у + 1 = 0 и х + y = 0 и т.А(1; 2)

На мене тези задачи с височини много ме затрудняват; може ли някой да предложи даден алгоритъм по който се рашават ?

Един хубав чертеж в geogebra ще помогне мисля.

visochini123.png (170.7 KiB) Прегледано 942 пъти

[ammornil]

Напишете уравнението на правата БЦ, ако две от височините на АБЦ са върху правите с уравнение 2х - 3у + 1 = 0 и х + y = 0 и т.А(1; 2)
На мене тези задачи с височини много ме затрудняват; може ли някой да предложи даден алгоритъм по който се рашават ?

Скрит текст: покажи

Всяка права може да се запише с уравнение от вида [tex]ax+by+c=0[/tex], като това равенство е изпълнено за координатите [tex](x;y)[/tex] на всяка точка, която лежи на правата.
От горното уравнение може да се запише [tex]y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}[/tex]. Прието е дробните коефициенти със знака минус пред тях да се заместват с:
[tex]k=-\frac{a}{b}[/tex], наричан наклон на правата, който е равен на тангенса на ъгъла, който правата сключва с положителната посока на абсцисната ос;
[tex]m=-\frac{c}{b}[/tex], наричан отрез на правата, който е равен на разстоянието от началото на координатната система до точката в която правата пресича ординатната ос.
Така получаваме [tex]y=kx+m[/tex].

Ако правите [tex]\begin{array}{l} p_{1}: y=k_{1}x+m_{1} \\ p_{2}: y=k_{2}x+m_{2} \end{array}[/tex] се пресичат в точка [tex]P(x_{P},y_{P})[/tex] то [tex]k_{1}\cdot{x_{P}}+m_{1}=k_{2}\cdot{x_{P}}+m_{2}; \hspace{2em} y_{P}=k_{1}x_{P}+m_{1}=k_{2}x_{P}+m_{2}[/tex]

Ако две прави имат равни наклони [tex](k_{1}=k_{2})[/tex] то правите са успоредни (или в частен случай, съвпадат ако имат също и равни отрези).
Две прави са перпендикулярни ако [tex]k_{1}=-\frac{1}{k_{2}}[/tex].

Ако правата [tex]p: y=kx+b[/tex] минава през две точки [tex]M(x_{M};y_{M})[/tex] и [tex]N(x_{N};y_{N})[/tex] то [tex]\frac{x-x_{M}}{x_{N}-x_{M}}=\frac{y-y_{M}}{y_{N}-y_{M}}[/tex]. От това равенство се намира уравнението на права по дадени две точки от правата.

Проверяваме дали някоя от дадените височини минава през върха [tex]A(1;2)[/tex], като заместваме координатите на точката в дадените равенства. Ако равенството е изпълнено, значи височината е от връх [tex]A[/tex].
[tex]p: 2x-3y+1=0 \rightarrow 2\cdot{1}-3\cdot{2}+1 \ne 0 \Rightarrow A(1;2) \notin p.[/tex]
[tex]q: x+y=0 \rightarrow 1+2 \ne 0 \Rightarrow A(1;2) \notin q.[/tex]
Нокоя от дадените височини не минава през [tex]A(1;2)[/tex].

Записваме отрезните уравнения на височините:
[tex]p: 2x-3y+1=0 \Leftrightarrow y=\frac{2}{3}\cdot{x}+\frac{1}{3}[/tex]
[tex]q: x+y=0 \Leftrightarrow y=-1\cdot{x}+0[/tex], понеже отрезът е нула, правата минава през началото на координатната система.
Понеже никоя височина не минава през върха [tex]A[/tex], страните на триъгълника, съдържащи върха [tex]A[/tex] лежат на прави, които са перпендикулярни на височините и съдържат точка [tex]A[/tex].
Знаем, че през точка нележаща на дадена права минава точно една права, пеперпендикулярна на дадената.
Нека правата през върха [tex]A[/tex], перпендикулярна на правата [tex]p: y=\frac{2}{3}\cdot{x}+\frac{1}{3}[/tex], има уравнение [tex]f: y=k_{f}+m_{f}[/tex]
[tex]\because f\bot p \Rightarrow k_{f}=-\frac{1}{k_{p}}=-\frac{1}{\frac{2}{3}}=-\frac{3}{2} \Rightarrow f: y=-\frac{3}{2}x+m_{f}[/tex]
[tex]\because A(1;2) \in f \Rightarrow y_{A}=-\frac{3}{2}x_{A}+m_{f} \Leftrightarrow 2=-\frac{3}{2}\cdot{1}+m_{f} \Leftrightarrow m_{f}=2+\frac{3}{2} \Leftrightarrow m_{f}=\frac{7}{2} \Rightarrow[/tex]$$ f: y=-\frac{3}{2}x+\frac{7}{2} $$
Аналогично за другата права през [tex]A(1;2)[/tex], пепрпендикулярна на [tex]q: y=-x[/tex] получаваме [tex]g: y=k_{g}x+m_{g}[/tex]
[tex]k_{g}=-\frac{1}{-1}=1; 2=1\cdot{1}+m_{g} \Leftrightarrow m_{g}=1 \Rightarrow[/tex] $$ g: y=x+1 $$

Вече знаем правите, върху които лежат страните [tex]AB[/tex] и [tex]AC[/tex] на [tex]\triangle{ABC}[/tex]. Всяка височина пресича една от тези страни в съответен връх на триъгълника.
Ще изберем произволно [tex]B \in q, C \in p[/tex], но може да се разгледа и обратния случай (както е избрал за чертежа си колегата peyo). Понеже ще търсим уравнението на правата през тези две точки, имената на точките нямат значение за уравнението.

Понеже [tex]f \bot p \Rightarrow q \cap f =B \Rightarrow -x_{B}+0=-\frac{3}{2}x_{B}+\frac{7}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}x_{B}=\frac{7}{2} \Leftrightarrow x_{B}=7[/tex]
[tex]y_{B}=-x_{B}+0=-7 \Rightarrow B(7;-7)[/tex]

Понеже [tex]g \bot q \Rightarrow p \cap g =C \Rightarrow \frac{2}{3}x_{C}+\frac{1}{3}=x_{C}+1 \Leftrightarrow -\frac{1}{3}x_{C}=\frac{2}{3} \Leftrightarrow x_{C}=-2[/tex]
[tex]y_{C}=x_{C}+1=-1 \Rightarrow C(-2;-1)[/tex]

Като знаем координатите на [tex]B(7;-7)[/tex] и [tex]C(-2;-1)[/tex] можем да запишен уравнение на правата минаваща през тях, като [tex]\frac{x-x_{C}}{x_{B}-x_{C}}=\frac{y-y_{C}}{y_{B}-y_{C}}[/tex]
[tex]\frac{x-(-2)}{7-(-2)}=\frac{y-(-1)}{-7-(-1)} \Leftrightarrow \frac{x+2}{9}=\frac{y+1}{-6} \Leftrightarrow -6(x+2)=9(y+1) \Leftrightarrow 9y=-6x-12-9 \Leftrightarrow[/tex] $$ y=-\frac{2}{3}x-\frac{7}{3} $$

Моля проверете за грешки в пресмятанията, защото ги правих набързо и в LATEX, но това е методиката за решаване на този тип задачи.

[Какаши Сенсей]

Благодаря Ви много ammornil, за подробното решение!

Методът е правилен, но според отговрите в учебника трябва да е ВС: 2х + 3у + 7 = 0

[ammornil]

Благодаря Ви много ammornil, за подробното решение!

Методът е правилен, но според отговрите в учебника трябва да е ВС: 2х + 3у + 7 = 0

Благодаря за корекцията, намерих и коригирах грешката