Характеристични полиноми

[Румен Симеонов]

Нека $\mathbb{K}$ е поле. За $n×n, n=1, 2, ...$ матрица $X=(x_{ij}), x_{ij}\in \mathbb{K}$ с $H_{X}(\lambda)$ обозначаваме характеристичния ѝ полином $H_{X}(\lambda):=det(X-\lambda I_n )$.
Докажете и/или посочете къде може да се намери доказателство, че:
$H_{AB}(\lambda)=H_{BA}(\lambda)$,
за всеки две $n×n$ матрици $A=(a_{ij})$ и $B=(b_{ij})$ имащи за компоненти елементи $a_{ij} , b_{ij} \in \mathbb{K}$, принадлежащи на полето $\mathbb{K}$.

[grav]

Ако една от матриците е обратима е ясно защото тогава [tex]AB[/tex] и [tex]BA[/tex] са подобни. Ако никоя не е обратима то ако полето има безкрайно много елемента матрицата [tex]A+t[/tex] е обратима за безкрайно много стойности на [tex]t[/tex]. Тогава за тях е вярно

[tex]det[(A+t)B-\lambda I_n]=det[B(A+t)-\lambda I_n][/tex].

Но това са полиноми, които имат равни стойности за безкрайно много [tex]t[/tex], следователно са равни за всички [tex]t[/tex], включително и [tex]t=0[/tex].

[Румен Симеонов]

Ако една от матриците е обратима е ясно защото тогава [tex]AB[/tex] и [tex]BA[/tex] са подобни. Ако никоя не е обратима то ако полето има безкрайно много елемента матрицата [tex]A+t[/tex] е обратима за безкрайно много стойности на [tex]t[/tex]. Тогава за тях е вярно

[tex]det[(A+t)B-\lambda I_n]=det[B(A+t)-\lambda I_n][/tex].

Но това са полиноми, които имат равни стойности за безкрайно много [tex]t[/tex], следователно са равни за всички [tex]t[/tex], включително и [tex]t=0[/tex].

Остава от числовото равенство/тъждество да се направи извод за равенството на коефициеентите т.е. - равенство на полиномите. Има разлика между полином и полиномна функция. Но да приемем, че всичко това го правите наум прилагайки теоремата за идентичност на полиноми (разглеждани като формален вектор от коефициенти, когато са равни полиномните им функции).
ОБАЧЕ, остава недоказан случайят на поле с краен брой елементи. (А и има много кратки решения валидни направо за всички полета, а даже и в по-общи ситуации, но са трудни за откриване и много лесни за проверяване. Някои хора, обаче, са се научили да откриват такива решения.).

[grav]

Намерих (в интернет, не се досетих) решение. Идеята е, че [tex]\begin{pmatrix}
AB & 0 \\
B & 0
\end{pmatrix}[/tex] и [tex]\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
B & BA
\end{pmatrix}[/tex]

са подобни.

[Румен Симеонов]

Намерих (в интернет, не се досетих) решение. Идеята е, че [tex]\begin{pmatrix}
AB & 0 \\
B & 0
\end{pmatrix}[/tex] и [tex]\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
B & BA
\end{pmatrix}[/tex]

са подобни.

Дай линк, щото изглежда това е трето решение от този сорт. После аз ще дам линк към първите 2 такива решения. Впрочем, към едно от тях се появи и известна критика, ще видим дали ще остане валидно.

[grav]

https://math.stackexchange.com/questions/311342/do-matrices-ab-and-ba-have-the-same-minimal-and-characteristic-polynomia

[Румен Симеонов]

Тук има 2-3 решения, първото от които, в #9, е мое:
https://artofproblemsolving.com/communi ... ecabspecba