Помощ за задачи от изпит Висша алгебра

[Гост]

Привет колеги ! Предстои ми поправка по висша алгебра , но някои неща все още са ми малко сложни. Ще съм ви много благодарен, ако хвърлите едно око на тези задачи и ударите едно рамо . Благодаря предварително !

Задача 2. Нека K = {f | f : R → R} е пръстенът на всички реални функции относно поточковите операции, M = {f ∈ K | f(0) = 0} и N = {f ∈ K | f(0) = f(1) = 0}.
- Докажете, че M е максимален идеал на K, а N е идеал на K, който не е прост.
- Намерете факторпръстените K/M и K/N.

Задача 3. За някое естествено число k е известно, че d = (k
2 + 7, (k + 1)2 + 7) > 1. Намерете d.

Задача 4. Изразете лицето на триъгълник със страни a, b, c чрез елементартните симетрични полиноми σ1 = a + b + c, σ2 = ab + bc + ca и σ3 = abc.
Упътване: Ползвайте формулата на Херон за лице на триъгълник.

[pal702004]

Задача 3. За някое естествено число k е известно, че d = (k
2 + 7, (k + 1)2 + 7) > 1. Намерете d.

Такова безумно оформление рядко съм срещал. Вероятно става въпрос за това, че $d$ е общ делител на две числа, по-голям от едно.

Най-голям общ делител на числата $a,b$ се отбелязва като $\gcd(a,b)$, а понякога просто $(a,b)$ но явно се указва, че под тази нотация се крие НОД.

Само това да е, но не. Да видим кои трябва да са тези числа.

Ако написаното горе означава $\gcd(2k+7,2(k+1)+7)$, то те са взаимнопрости за всяко $k$, така че явно не става въпрос за това.

Ако е $\gcd(k^2+7,(k+1)^2+7)$ - има задача, с алгоритъма на Евклид, може и делене н полиноми за остатък се намира $d=29,k=14$

$\gcd(14^2+7,15^2+7)=29$

Задача 4. Изразете лицето на триъгълник със страни a, b, c чрез елементартните симетрични полиноми σ1 = a + b + c, σ2 = ab + bc + ca и σ3 = abc.
Упътване: Ползвайте формулата на Херон за лице на триъгълник.

Формулата на Херон може да се запише и като

$S=\dfrac 1 4 \cdot \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}$

Мисля, че ще свърши работа тъждеството:

$(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)=4(a+b+c)(ab+bc+ca)-(a+b+c)^3-8abc$

[grav]

Привет колеги ! Предстои ми поправка по висша алгебра , но някои неща все още са ми малко сложни. Ще съм ви много благодарен, ако хвърлите едно око на тези задачи и ударите едно рамо . Благодаря предварително !

Задача 2. Нека K = {f | f : R → R} е пръстенът на всички реални функции относно поточковите операции, M = {f ∈ K | f(0) = 0} и N = {f ∈ K | f(0) = f(1) = 0}.
- Докажете, че M е максимален идеал на K, а N е идеал на K, който не е прост.
- Намерете факторпръстените K/M и K/N.

Първата задача (т.е. задача 2) е също съвсем директна и ако понятията са ясни, то тя е съвсем елементарна. Ако понятията са все още нови в главата, то задачата може да изглежда трудна, но това е само психологическа бариера. След като става дума за помощ е хубаво ако кажете до къде сте стигнали, какви идеи сте пробвали и т.н.