Деление на полиноми през метод на неопределеноте коефиценти

[blago0363]

Как ще се разделят 2та полинома чрез метода на непосредствено деление? Ако може и да се обясни да схвана логиката?Благодаря предварително!

f(x) = 3x^6-3x^5-9x^4+x^2-1
g(x) = x^2-x-3

f(x) / g(x) = ?

[ammornil]

Как ще се разделят 2та полинома чрез метода на непосредствено деление? Ако може и да се обясни да схвана логиката?Благодаря предварително!
f(x) = 3x^6-3x^5-9x^4+x^2-1
g(x) = x^2-x-3
f(x) / g(x) = ?

В заглавието питате за неопределени коефициенти, а въпросът Ви е за непосредствено деление (деление с опашка). Дадените полиноми не се делят без остатък.

Непосредствено деление

Скрит текст: покажи

[tex]\hspace{12em} \red{3x^{4}}\orange{+1} \\ \hspace{1em}3x^{6}-3x^{5}-9x^{4}+x^{2}-1 |\overline{x^{2}-x-3} \\ - \\ \hspace{1em}\underline{\red{3x^{6}-3x^{5}-9x^{4}} \hspace{2em}} \\ \hspace{9em}x^{2}-1 \\ \\ \hspace{8em}- \\ \hspace{9em} \underline{\orange{x^{2}-x-3}\hspace{2em}} \\ \hspace{11em}x+2[/tex]
Редът е както при деление с опашка. Търсим с колко трябва да умножим първия едночлен на делителя за да получим първия едночлен на делимото. В случая [tex]3x^{6}\div{x^{2}}=3x^{4}[/tex], записваме в отговора, умножаваме с делителя и изваждаме от делимото. Получената разлика [tex]x^{2}-1[/tex] делим по същата логика: [tex]x^{2}\div{x^{2}}=1[/tex], записваме в отговора, умножаваме с делителя и изваждаме. Полученият остатък е от по-ниска степен от делителя, следователно делението спира до тук. Получаваме, че $$ \frac{3x^{6}-3x^{5}-9x^{4}+x^{2}-1}{x^{2}-x-3} = 3x^{4}+1+\frac{x+2}{x^{2}-x-3} $$

Неопределени коефициенти

Скрит текст: покажи

Произведение на два полинома от степени респективно [tex]m[/tex] и [tex]n[/tex] дава полином от степен [tex]m+n[/tex]. Аналогично, частното на полиноми от сптепени [tex]p[/tex] и [tex]m[/tex] е полином от степен [tex]p-m[/tex].
[tex]f(x)[/tex] е полином от шеста степен, а [tex]g(x)[/tex] е полином от втора степен, следователно частното им (ако се делят точно без остатък) е полином от четвърта степен (6-2). Нека коефициентите на частното означим с първите букви от латинската азбука (ще пропуснем e, f и g за да избегнем неясноти), тогава имаме:$$ \frac{3x^{6}-3x^{5}-9x^{4}+x^{2}-1}{x^{2}-x-3}=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+h $$
Умножаваме на кръст, разкриваме скобите и подреждаме дясната страна по степени:
[tex]3x^{6}-3x^{5}-9x^{4}+x^{2}-1 = (x^{2}-x-3)\cdot{(ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+h)} \hspace{0.3em} \Leftrightarrow \\ 3x^{6}-3x^{5}-9x^{4}+x^{2}-1 = x^{2}\cdot{(ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+h)}-x\cdot{(ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+h)}-3\cdot{(ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+h)} \hspace{0.3em} \Leftrightarrow \\ 3x^{6}-3x^{5}-9x^{4}+x^{2}-1 = \red{ax^{6}}+\blue{bx^{5}}\green{+cx^{4}}\orange{+dx^{3}}\purple{+hx^{2}}\blue{-ax^{5}}\green{-bx^{4}}\orange{-cx^{3}}\purple{-dx^{2}}-hx\green{-3ax^{4}}\orange{-3bx^{3}}\purple{-3cx^{2}}-3dx\gray{-3h} \\ \red{3x^{6}}\blue{-3x^{5}}\green{-9x^{4}}\orange{+0x^{3}}\purple{+1x^{2}}+0x\gray{-1} = \red{ax^{6}}+\blue{(b-a)x^{5}}\green{+(c-b-3a)x^{4}}\orange{+(d-c-3b)x^{3}}\purple{+(h-d-3c)x^{2}}-(h+3d)x\gray{-3h}[/tex]
Отляво допълнихме липсващите трета и първа степен с коефициент нула за да се вижда по-лесно съответствието на двете страни.
Понеже полиномите от двете страни са равни, следва че коефициентите на едночлените от една и съща степен са равни, което води до системата:$$ \begin{array}{|l} a = 3 \\ b-a=-3 \\ c-b-3a = -9 \\ d-c-3b = 0 \\ h-d-3c = 1 \\ -(h+3d)=0 \\ -3h = -1 \end{array} $$
Понеже полиномите не се дялят без остатък, системата няма решение.

[grav]

[tex]3x^6-3x^5-9x^4+x^2-1=(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)(x^2-x-3)+fx+g[/tex]