Функция на две променливи

[Гост]

Машиностроителна компания произвежда два вида стругове в количества
съответно
x
броя и
y
броя. Общите разходи се описват с функцията
C( x,y )= [tex]x^{2 }[/tex] -xy+[tex]y^{2 }[/tex]+100x+200y, а
R( x,y ) = -[tex]x^{2 }[/tex]+xy-2[tex]y^{2 }[/tex]+1000x+2000y
e функцията на приходите от реализацията на струговете.
1) Какви количества от двата вида стругове трябва да произведат, за да максимизира
компанията печалбата от реализацията им?
2) Определете размера на максималната печалба.

[ammornil]

Машиностроителна компания произвежда два вида стругове в количества
съответно
x
броя и
y
броя. Общите разходи се описват с функцията
C( x,y )= [tex]x^{2 }[/tex] -xy+[tex]y^{2 }[/tex]+100x+200y, а
R( x,y ) = -[tex]x^{2 }[/tex]+xy-2[tex]y^{2 }[/tex]+1000x+2000y
e функцията на приходите от реализацията на струговете.
1) Какви количества от двата вида стругове трябва да произведат, за да максимизира
компанията печалбата от реализацията им?
2) Определете размера на максималната печалба.

Според мен е нещо такова... (проверете сметките и преобразуванията защото ги правя в ЛАТЕКС)

Определяме функцията на печалбата като разлика от приходите и разходите за едни и същи количества от двата вида:
[tex]C(x,y)=x^{2}-xy+y^{2}+100x+200y, \hspace{0.5em} x \in N, y \in N \\ R(x,y)=-x^{2}+xy-2y^{2}+1000x+2000y \\ \phantom{\cup} \\ P(x,y)=R(x,y)-C(x,y)=-2x^{2}+2xy-3y^{2}+900x+1800y[/tex]

[tex]\frac{\partial{P(x,y)}}{\partial{x}}=-4x+2y+900, \hspace{2em} \frac{\partial{P(x,y)}}{\partial{y}}=2x-6y+1800 \\ \frac{\partial^{2}{P(x,y)}}{\partial{x^{2}}}=-4, \hspace{2em} \frac{\partial^{2}{P(x,y)}}{\partial{y^{2}}}=-6 \hspace{2em} \frac{\partial^{2}{P(x,y)}}{\partial{x}\partial{y}}=\frac{\partial^{2}{P(x,y)}}{\partial{y}\partial{x}}=2[/tex]

Количествата от двата вида стругове, за които функцията може би има есктемум са:
[tex]\begin{array}{|l} -4x+2y+900= 0 \\ 2x-6y+1800= 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} y = 2x - 450 \\ -10x= -4500 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} y = 450 \\ x = 450 \end{array}[/tex]

Проверка за екстремум:
[tex]\Delta(x,y)=(-4)\cdot(-6)-2^{2}=20>0, \hspace{0.5em} \forall (x,y) \in \text{ДМ} \Rightarrow \exists P(x,y)_{extr}\\ \frac{\partial^{2}{P(x,y)}}{\partial{x^{2}}}<0 \Rightarrow P(450, 450)=P(x,y)_{max}=\cancel{-2\cdot{450^{2}}}\cancel{+2\cdot{450}\cdot{450}}-3\cdot{450^{2}}+900\cdot{450}+1800\cdot{450}=\cdots =607\ 500[/tex]

Под печалба в решението се разбира "брутна положителна разлика между реализирани приходи и направени разходи".

[Гост]

Здравейте! Благодаря за отговора. Като гледам примерните задачи , изглежда правилно. Обаче стигах до числа, които ме усъмниха при ваденетo на x и y. Задачата прилича на предната, която е коментирана за лодките, която е от свитъка , с който работя и аз. РАзплиакта е , че там е изкарано направо P, а при мен се търси чрез R-C и някъде след това губя сметките
Хубав ден и отновно благодарности!