Производна на обратна функция

[Гост]

Здравейте!
Имам нужда от помощ за следната задача
производната на обратната функция на sin[tex]x^{2 }[/tex]

[ammornil]

Здравейте!
Имам нужда от помощ за следната задача
производната на обратната функция на sin[tex]x^{2 }[/tex]

Според мен...
Обратната функция на [tex]y=\sin{x^{2}}[/tex] е [tex]y=\sqrt{\arcsin{x}}, x \in \left(0;1 \right)[/tex]
[tex](\sqrt{\arcsin{x}})'=1\cdot{\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}}\cdot{\frac{1}{2\cdot{\sqrt{\arcsin{x}}}}}=\frac{1}{2\cdot{\sqrt{(1-x^{2})\cdot{\arcsin{x}}}}}[/tex]

[peyo]

Здравейте!
Имам нужда от помощ за следната задача
производната на обратната функция на sin[tex]x^{2 }[/tex]

Според мен...
Обратната функция на [tex]y=\sin{x^{2}}[/tex] е [tex]y=\sqrt{\arcsin{x}}, x \in \left(0;1 \right)[/tex]
[tex](\sqrt{\arcsin{x}})'=1\cdot{\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}}\cdot{\frac{1}{2\cdot{\sqrt{\arcsin{x}}}}}=\frac{1}{2\cdot{\sqrt{(1-x^{2})\cdot{\arcsin{x}}}}}[/tex]

Това е интересно! Мисля, че ще е по-сложно. На обратната функция корена трябва да е вътре:
[tex]y=\arcsin{\sqrt{x}}[/tex]

А по някаква причина sympy намери 4 функции:

In [384]: f = sin(x)**2

In [386]: print(latex(solve(y-f,x)))
$\left[ \pi - \operatorname{asin}{\left(\sqrt{y} \right)}, \ \operatorname{asin}{\left(\sqrt{y} \right)} + \pi, \ - \operatorname{asin}{\left(\sqrt{y} \right)}, \ \operatorname{asin}{\left(\sqrt{y} \right)}\right]$

In [387]: plot(f,*solve(x-f.subs(x,y),y), (x,-4,4))
Out[387]: <sympy.plotting.plot.Plot at 0x187af050790>

Figure_sin2obr.png (23.12 KiB) Прегледано 984 пъти

[Гост]

Здравейте!
Имам нужда от помощ за следната задача
производната на обратната функция на sin[tex]x^{2 }[/tex]

ti kak tulkuvash taja funkcija, deto si ja napisal?

[ammornil]

Моята логика е:
[tex]u(x)=sin[v^{2}(x)] \Leftrightarrow \arcsin[u(x)]= \begin{cases} v^{2}(x) \pm 2k\pi \\ \pi -v^{2}(x) \pm 2k\pi \end{cases} \Leftrightarrow v(x)= \begin{cases} \pm \sqrt{\arcsin[u(x)]\pm 2k\pi} \\ \pm \sqrt{\pi-\arcsin[u(x)]\pm 2k\pi} \end{cases}[/tex]
И тук виждам, че съм пропуснал три клона в решението ми по-горе като съм забравил минус корена и че арксусинус дава два ъгъла.

Така, че според мен цялото решение е:
[tex](\sqrt{\arcsin{x}\pm 2k\pi})'=1\cdot{\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}}\cdot{\frac{1}{2\cdot{\sqrt{\arcsin{x}\pm 2k\pi}}}}=\frac{1}{2\cdot{\sqrt{(1-x^{2})\cdot{(\arcsin{x}\pm 2k\pi)}}}}[/tex]
[tex](-\sqrt{\arcsin{x}\pm 2k\pi})'=1\cdot{\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}}\cdot{\frac{-1}{2\cdot{\sqrt{\arcsin{x}\pm 2k\pi}}}}=-\frac{1}{2\cdot{\sqrt{(1-x^{2})\cdot{(\arcsin{x}\pm 2k\pi)}}}}[/tex]
[tex](\sqrt{\pi-\arcsin(x)\pm 2k\pi})'=1\cdot{\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}}\cdot{\frac{1}{2\cdot{\sqrt{\pi-\arcsin(x)\pm 2k\pi}}}}=-\frac{1}{2\cdot{\sqrt{(1-x^{2})\cdot{(\pi-\arcsin(x)\pm 2k\pi)}}}}[/tex]
[tex](-\sqrt{\pi-\arcsin(x)\pm 2k\pi})'=1\cdot{\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}}\cdot{\frac{-1}{2\cdot{\sqrt{\pi-\arcsin(x)\pm 2k\pi}}}}=\frac{1}{2\cdot{\sqrt{(1-x^{2})\cdot{(\pi-\arcsin(x)\pm 2k\pi)}}}}[/tex]

[ammornil]

In [384]: f = sin(x)**2

Мился че грешно сте задал изначалната фунция[tex][\sin(x)]^{2}=\sin^{2}x\ne\sin(x^{2})=\sin x^{2}[/tex], или може би аз не съм я разбрал. Авторът: коя е функцията?
[tex][/tex]

Screenshot 2023-12-01 094402.png (51.34 KiB) Прегледано 972 пъти

[peyo]

In [384]: f = sin(x)**2

Мился че грешно сте задал изначалната фунция[tex][\sin(x)]^{2}=\sin^{2}x\ne\sin(x^{2})=\sin x^{2}[/tex], или може би аз не съм я разбрал. Авторът: коя е функцията?
[tex][/tex]

Screenshot 2023-12-01 094402.png

Да, моята функция е $(sin(x))^2$, защото си мисля че така е по-правилно. (ъгъл на квадрат не мога да се сетя какъв физически смисъл би имал)

[ammornil]

Да, моята функция е $(sin(x))^2$, защото си мисля че така е по-правилно. (ъгъл на квадрат не мога да се сетя какъв физически смисъл би имал)

Тогава, според мен, записването е некоректно. Основно тригонометрично равенство е [tex]\sin^{2}x+\cos^{2}x = 1[/tex] а не [tex]\sin{x}^{2}+\cos{x}^{2}=1[/tex].
Обикновено ако не се ползват скоби степента се слага на функцията, ако се отнася до нея, и на аргумента, ако се отнася до него. Например: [tex]\ln^{3}{x}\ne \ln{x^{3}}[/tex]

Скрит текст: покажи

Screenshot 2023-12-01 120653.png (5.86 KiB) Прегледано 963 пъти

[tex][/tex]

Screenshot 2023-12-01 120751.png (22.09 KiB) Прегледано 963 пъти