Системи сравнения

[Гост]

Да се решат следните системи сравнения:
x [tex]\equiv[/tex] 3.9 (mod 4)
x [tex]\equiv[/tex] 3.7 (mod 7)
x [tex]\equiv[/tex] 3.6 (mod 9)



x [tex]\equiv[/tex] 2 (mod 11)
x [tex]\equiv[/tex] 9 (mod 15)
x [tex]\equiv[/tex] 7 (mod 9)
x [tex]\equiv[/tex] 5 (mod 7)

[Гост]

$\begin{array}{|l}x\equiv27(mod4)\\x\equiv21(mod7)\\x\equiv18(mod9)\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}x\equiv-1(mod4)\\x\equiv0(mod7)\\x\equiv0(mod9)\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}x\equiv-1(mod4)\\x\equiv0(mod7.9)\end{array}$

$x=7.9l=63l;l\in\mathbb{Z}$

$63l\equiv-1(mod4)$

$-l\equiv-1(mod4)$

$l=1+4k\Rightarrow x=252k+63\Rightarrow x\equiv63(mod252)$

Използвани са главно следните свойства на сравненията (всички букви означават цели числа):

Ако числата a и b дават един и същи остатък при деление на n, пишем: $a\equiv b(mod n)$

Ако $x\equiv a(mod n)$, то $x\equiv a\pm kn(mod n)$, или иначе казано:

Ако $a\equiv b(mod n)$, то $x\equiv a(mod n)$ е равносилно на $x\equiv b(mod n)$

$x\equiv0(modn)$ означава, че х се дели на n без остатък, така че ако едновременно $x\equiv0(moda)$ и $x\equiv0(modb)$, то x се дели на НОК(a,b) - най-малкото общо кратно на a и b.

Също, ако пред х имаме коефициент, можем да намерим неговия остатък при делене на модула: $ax\equiv b(modn)\Leftrightarrow cx\equiv d(modn)$, щом $a\equiv c(modn)$ и $b\equiv d(modn)$

[Гост]

По втората система:

$x\equiv9(mod15)\Rightarrow x=9+15k=3(3+5k)$ - х се дели на три - дава остатък 0
$x\equiv7(mod9)\Rightarrow x=7+9k=3(2+3k)+1$ - х дава остатък 1 при делене на 3

Второто и третото сравнения си противоречат - системата няма решение.