ФМИ Висша Алгебра | Задачи от редовен изпит !

[Гост]

Привет ! Знам че става нахално, когато се пуснат повече задачи, но просто имам проблем, а помощта от преподавателите е "тези неща сме ги вземали". Ще съм супер благодарен ако помогнете със следните задачи :

[tex]\displaystyle \text{Нека } x_1, x_2, x_3 \text{ са корените на полинома } x^3 + px + q \in \mathbb{C}[x], \text{ като } f(-4) \neq 0. \text{ Да се изрази чрез } p \text{ и } q \text{ сумата:} \frac{(x_1 - x_2)^2}{(x_1 + 4)(x_2 + 4)} + \frac{(x_1 - x_3)^2}{(x_1 + 4)(x_3 + 4)} + \frac{(x_2 - x_3)^2}{(x_2 + 4)(x_3 + 4)}[/tex]

[tex]\displaystyle \text{Задача 2. Нека } R \text{ е пръстен. С } N(R) = \{r \in R \mid \exists n \in \mathbb{N} : r^n = 0_R \} \text{ е означено множеството от нилпотентните елементи в } R.
\begin{array}{l}
\text{a) Да се докаже, че ако } R \text{ е комутативен пръстен, то } N(R) \trianglelefteq R. \\
\text{b) Да се намери } N(\mathbb{Z}_{87700}). \\
\text{c) Да се даде пример за пръстен } S, \text{ такъв че } N(S) \text{ не е подпръстен на } S.
\end{array}[/tex]





[tex]\displaystyle \text{Задача 3. Нека}
H = \{ z \in \mathbb{C}^* \mid |z|^{124} = z^{124} \}
\text{и}
U = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \}.
\begin{array}{l}
\text{a) Да се докаже, че } H \text{ е подгрупа на } \mathbb{C}^*, \text{ а } \mathbb{R}^+ \text{ и } C_{124} \text{ са подгрупи на } H. \\
\text{б) Да се изобразят елементите на } H \text{ върху комплексната равнина.} \\
\text{в) Да се докаже, че }
\frac{H}{\mathbb{R}^+} \cong C_{124}, \quad \frac{H}{C_{124}} \cong \mathbb{R}^+ \quad \text{и} \quad \frac{\mathbb{C}^*}{H} \cong U.
\end{array}[/tex]

[tex]\displaystyle \text{Задача 4. Да се намерят всички полета } F, \text{ такива че за всеки два елемента } x, y \in F \text{ е изпълнено}
(x + y)^5 = x^5 + y^5.[/tex]

Ще съм страшно благодарен ако има и обяснение, (където може) към решението. Благодаря предварително !