Помощ за намиране на екстремните на следната функция f(x)=x^

[Petar petrov]

f(x)=[tex]x^{2 }[/tex]e^-x
Търся екстремните моля помагайте

[peyo]

f(x)=[tex]x^2 e^{-x}[/tex]
Търся екстремните моля помагайте

$f'=- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} = 0$

$ - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} = 0$

$x_1=0$

$- x e^{- x} + 2 e^{- x} = 0$

$e^{- x}(2 - x) = 0$

$x_2=2$

plot(f,(x,-1,5))

Figure_1234324324.png (17.62 KiB) Прегледано 202 пъти

[ammornil]

f(x)=[tex]x^{2 }[/tex]e^-x
Търся екстремните моля помагайте

[tex]f(x)=x^{2}\cdot{}e^{-x} \\[6pt] \quad \text{ДМ:}\quad x\in{}\mathbb{R} \\ f(x)=\underbrace{x^{2}}_{u}\cdot{}\underbrace{e^{-x}}_{v} \Rightarrow f'(x)=u'\cdot{}v+v'\cdot{}u \\[6pt] u=x^{2} \Rightarrow u'=(x^{2})'=2x \\ v=e^{-x} \Rightarrow v'=(-x)'\cdot{}e^{-x}=-e^{-x} \\[6pt] f'(x)=2x\cdot{}e^{-x}+(-e^{-x})\cdot{}x^{2}=(2x-x^{2})e^{-x}=(2-x)\cdot{}x\cdot{}e^{-x} \\[6pt][/tex]Ако съществуват екстрмуми на дадената функция, те са в точките, където първата производна е нула. Едно произведение е нула ако някой от множителите му е нула.[tex]\\[12pt]f'(x)=0 \begin{cases} x_{1}=2 \\ x_{2}=0\end{cases} \\[12pt] f'(x)=\underbrace{(2x-x^{2})}_{w}\underbrace{e^{-x}}_{v} \Rightarrow f''(x)=[f'(x)]'=w'\cdot{}v+v'\cdot{}w \\[6pt] f''(x)=(2-2x)e^{-x}+(-e^{-x})\cdot{}(2x-x^{2})=(2-2x-2x+x^{2})e^{-x}=(x^{2}-4x+2)e^{-x} \\[6pt] f''(0)=(0^{2}-4\cdot{}0+2)\cdot{}\frac{1}{e^{0}}=2 >0 \Rightarrow f(0)=f(x)_{min}=0^{2}\cdot{e^{-0}}=0 \\[6pt] f''(2)=(2^{2}-4\cdot{}2+2)\cdot{}\frac{1}{e^{2}}=-\frac{2}{e^{2}}<0 \Rightarrow f(2)=f(x)_{max}=2^{2}\cdot{e^{-2}}=\frac{4}{e^{2}}[/tex]

Забележки:

Скрит текст: покажи

[tex]e^{-x}=(e^{x})^{-1}=\frac{1}{e^{x}} \ne 0 \hspace{0.5em} \forall{x}\in\mathbb{R}\\[12pt] (x^{n})'=n\cdot{}x^{n-1} \\[12pt] (e^{x})'=e^{x}, \quad e^{0}=1 \\[12pt] \because{}y=u\pm{}v \Rightarrow y'=u'\pm{}v' \\[12pt] \because{}y=u\cdot{v} \Rightarrow y'=u'\cdot{}v+v'\cdot{}u\\[6pt][/tex]

Screenshot 2024-11-29 151837 small.png (11.54 KiB) Прегледано 179 пъти