Топология на сходимостта почти навсякъде.

[drago]

Нека [tex]X[/tex] e пространството от реалнозначни функции в/у [tex][0,1][/tex]. Може ли [tex]X[/tex] да се снабди с подходяща топология, така че тя да реализира поточковата сходимост почти навсякъде.
( [tex]\{f_n\}_{n=1}^{\infty }\rightarrow f[/tex] почти навсякъде, ако: [tex]\exists A \subset [0,1], \mu(A) = 0;[/tex] така че [tex]f_n(x) \rightarrow f(x)[/tex], за всяко [tex]x\in [0,1]\setminus A.[/tex] )

За съпоставка, известно е, че за всяка от сходимостите: равномерна, поточкова(навсякъде), сходимост по мярка, има съответни топологии, които ги реализират.

Любопитното е че отговорът на горния въпрос е НЕ. Жокер: Постройте редица [tex]f_n(x)[/tex] ,така че от всяка нейна подредица да може да се избере сходяща(почти навсякъде) подредица, но самата редица да не е сходяща(почти навсякъде).

[martin.nikolov]

Интересно! Ако не беше дал отговора и жокера, аз щях да си помисля, че е възможно.

[drago]

ok,
да вдигнем мъничко съспенса:
Същият въпрос, със същите условия, но за следната сходимост-да я наречем "поточкова сходимост с едно позволено изключение":
[tex]f_n \rightarrow f[/tex] в този смисъл, ако [tex]\exists x_0 \in [0,1][/tex] , така че [tex]f_n(x) \rightarrow f(x)[/tex] за всяко [tex]x\ne x_0.[/tex]

[exp]

От поточкова сходимост с едно позволено изключение, следва сходимост почти навсякъде.

[drago]

Да, така е, сходимостта с 1 изкл. е по-силна от п.н., но какво от това ?
Тази тема малко се заседя...
Всъщност оригиналът е тук:
http://terrytao.wordpress.com/2009/02/2 ... opologies/
Exercise 8

Конструираме следните ф-ии: Нека [tex]n \ge 1[/tex] е фиксирано. [tex]f_{n,k}=1_{[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}]}, k=0,1,...,n-1.[/tex]
т.е. характеристичната ф-я на интервала [tex][\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}][/tex]- 1 в него и 0 извън него.
За всяко n имаме n такива ф-ии. Подреждаме ги последователно в редица, озн.я пак с [tex]\{f_j\}_{j=1}^{\infty }[/tex].
Това е редица от характеристични ф-ии с безкрайно намаляващ носител, които тропосват периодично [0,1] отляво надясно.
Очевидно тази редица не е сходяща за никоя точка в [0,1], но има следното свойство:
(1) от всяка нейна подредица може да се избере сходяща п.н. към 0 подредица.
(интуитивно очевидно е, но все пак трябва да се направи някакво разсъждение.)
И така, като имаме тази конструкция, да допуснем, че има топология, която реализира сходимостта п.н.
Тогава за всяка подредица на [tex]f_j[/tex] има подредица [tex]f_{j_k}[/tex], която клони към едно и също [tex]f[/tex] в тази топология. (в случая [tex]f \equiv 0[/tex]).
От тук лесно следва(в препратката се цитира като принцип на Урисон), че и самата [tex]f_j[/tex] е сходяща към това [tex]f[/tex](=0 в нашия случай),
което е противоречие с конструкцията.
Пак там е любопитно да се погледне коментара:
http://terrytao.wordpress.com/2009/02/2 ... ment-36385
и този под него на Тери Тао.

Сега да поразсъждаваме малко по-неформално:
Ако вземем поточковата сходимост(навсякъде), за нея има топология, която я реализирара: базови околности на една ф-я [tex]f_0[/tex] в нея са:
[tex]\{f: |f(x_j)-f_0(x_j)| \lt \epsilon, j=1,..,n\}[/tex] за произволни(краен брой) [tex]x_1,...,x_n[/tex] и [tex]\epsilon \gt 0[/tex].
т.н. Тихоновска топология. Тя е толкова слаба(бедна на отворени множ.), че ед. куб [tex][0,1]^{[0,1]}[/tex] e компактен в нея(Теорема на Тихонов).
Сега отхлабваме още тази сходимост, като разрешаваме редица от ф-ии да бъде сходяща, ако е сходяща поточково, но с някои("малък" брой) изключения.
В случая, когато изключенията имат Лебегова мярка 0 това е сход. п.н. и за нея както видяхме няма топология да я реализира.
Човек като е осъзнал този факт може да му хрумне следното: добре де, може би изключения с Лебегова м.0 са твърде много. Ако ги още ги намалим, няма ли шанс да снабдим тази сходимост с топология ? Напр. да поискаме да са изброимо много, или краен брой или само едно ?!
Какво става тогава? Сходимостта се усилва(спрямо п.н.),все още е по-слаба от сходимостта навсякъде, но има ли шанс да я снабдим с топология?
Отговора пак е НЕ, примерът е същия- просто в (1) трябва да се види, че всяка подредица има сходяща подредица, която клони към 0 с изключение на една единствена точка.
Един вид, даже и да разрешим в поточковата сходимост даже едно единствено изключение, няма шанс тази сходимост да се снабди с топология.
Дълго стана това писание, но дано на някой му е било интересно!

[martin.nikolov]

Интересно е.