U184, Mathematical Reflections 1 (2011)

[drago]

Нека [tex]f; g : [a; b] \rightarrow \mathbb{R}[/tex] са диференцируеми функции, така че: [tex]\int_a^b f(x)dx = 0[/tex]
Докажете, че съществува [tex]c \in (a,b)[/tex] удовлетворяващо условието:

[tex]f^'(c) \int_c^b g(x)dx + g^'(c) \int_c^b f(x)dx = 2f(c)g(c).[/tex]

U184, Mathematical Reflections 1 (2011), Undergraduate problems section.

[Makelov]

Предполагам че трябва и [tex]\displaystyle\int_{a}^{b} g(x) \, dx = 0[/tex]?

Ако горното е така, нека [tex]F,G[/tex] са такива, че [tex]F'=f,G'=g[/tex]. Тогава имаме [tex]F(a)=F(b),G(a)=G(b)[/tex].
Искаме [tex]c[/tex] така че
[tex]2f(c)g(c)+f'(c)(G(c)-G(b))+g'(c)(F(c)-F(b))=0[/tex].

Да разгледаме функцията
[tex]H =f.G+F.g-f.G(b)-F(b).g[/tex]. Лесно се вижда [tex]H(a)=H(b)=0[/tex]. Значи има [tex]c\in (a,b)[/tex] така че [tex]H'(c)=0[/tex].
Обаче [tex]H'=2f.g+f'.(G-G(b))+g'.(F-F(b))[/tex] и значи с горното [tex]c[/tex] сме ОК

[drago]

Точно така, Makelov,
но не е задължително [tex]\displaystyle\int_{a}^{b} g(x) \, dx = 0[/tex]
Всъщност естествено такъв е подхода, но ти трябва още мъничко да отидеш по-нататък.
Не е нужно H(a) (в твоите означения) да е нула. Достатъчно е да [tex]\exists \xi \in (a,b), H(\xi)=0[/tex]. Защото H(b)=0. Другото остава същото.
И най-добре е да имаш предвид, че H е примерно във вида:
[tex]f(x) \int_x^b g(t)dt + g(x) \int_x^b f(t)dt[/tex]

[Makelov]

Да, вярно. Да вземем [tex]I=\displaystyle\int H = F.G-F.G(b)-G.F(b)[/tex]. Имаме [tex]F(a)=F(b)[/tex] и затова [tex]I(a)=F(a)G(a)-F(a)G(b)-G(a)F(b)=-F(b)G(b)[/tex] и [tex]I(b)=-F(b)G(b)[/tex], значи има някакво [tex]\xi\in (a,b)[/tex] така че [tex]H=I'=0[/tex]