Една задача от American Math. Monthly

[drago]

Нека [tex]E_j \subset (0,1),\, m(E_j)\ge s \gt 0, \, j=1,2,...[/tex] ([tex]m(A)[/tex] е Лебеговата мярка на A). При тези предположения вярно ли е, че съществува редица: [tex]1 \le n_1 \lt n_2 \lt...[/tex], така че [tex]m\left( \bigcap_{j=1}^{\infty} E_{n_j} \right) \gt 0[/tex] ?

[drago]

Не е вярно.
Жокер за контрапримера: Конструирайте [tex]E_j[/tex] да са все по равномерно и балансирано разположени в/у (0,1) с нарастването на j и то така че:
[tex]m\left( \bigcap_{j=1}^{r} E_{n_j} \right)= 2^{-r}[/tex], за всяка подредица [tex]n_j[/tex].

[drago]

[tex]E_j \, =\, \bigcup_{i=0}^{2^{j-1}-1} \left((2i) 2^{-j}\,,\, (2i+1) 2^{-j}\right ) \,\, ,\, j=1,2,...[/tex]