Вариация на един AMM problem.

[drago]

Нека [tex]E_j \subset (0,1),\, m(E_j)\ge s \gt 0, \, j=1,2,...[/tex] ([tex]m(A)[/tex] е Лебеговата мярка на A). При тези предположения докажете, че съществува редица: [tex]1 \le n_1 \lt n_2 \lt...[/tex], така че [tex]\bigcap_{j=1}^{\infty} E_{n_j} \, \neq \, \emptyset[/tex] .

Mалко коментар: Този факт трябва да е известен. На мен ми попадна, като гледах една задача от много стари години на списанието: viewtopic.php?f=61&t=5148
Там постановката е същата-дадени са подмножества на (0,1) с мерки, отделени от нулата от някаква константа. Оказва се, че не може да се твърди съществуването на безкрайна подредица от тези множества със сечение с ненулева мярка. И тук изникна въпросът: ок, не е ли вярно поне нещо доста по-слабо- че сечението на някоя подредица е непразно. Отговорът е положителен. Иначе би било подигравка с човешката интуиция . Подозирам, че историята обаче е точно обратната- авторът на задачата в AMM е знаел този факт и се е запитал, дали не може да се твърди нещо повече... Иначе задачата е хубаво упражнение.

[Baronov]

То всъшност мярката на елементите които са в безбройно много множества е поне s тъй като те са точно[tex]\bigcup_{n\geq 1}\bigcap_{k\geq n}E_k[/tex]. Точно това ме обърка мен и си мислех, че и другото твърдение е вярно (да не говорим, че ако множествата са интервали твърдението е вярно, а Lebesgue density theorem ти казва, че за всяко множество има интервал 'голяма' част от който да се покрива от множеството и аз се мъчих да ги наглася интервалите да са с голяма дължина). Иначе много готин контрапример, който трябва да се знае. Ако имаш още други подобни задачи (measure theory) ще се радвам ако ги пуснеш, аз ще пусна някоя ако се сетя.

[drago]

То всъшност мярката на елементите които са в безбройно много множества е поне s тъй като те са точно[tex]\bigcup_{n\geq 1}\bigcap_{k\geq n}E_k[/tex]. Точно това ме обърка мен и си мислех, че и другото твърдение е вярно (да не говорим, че ако множествата са интервали твърдението е вярно, а Lebesgue density theorem ти казва, че за всяко множество има интервал 'голяма' част от който да се покрива от множеството и аз се мъчих да ги наглася интервалите да са с голяма дължина). Иначе много готин контрапример, който трябва да се знае. Ако имаш още други подобни задачи (measure theory) ще се радвам ако ги пуснеш, аз ще пусна някоя ако се сетя.

Да де, но не разбрах защо мярката на елементите които са в безбройно много множества е поне s ? Ako се погледне контрапримера на другия проблем то за него:
[tex]m \left( \bigcup_{n\geq 1}\bigcap_{k\geq n}E_k \right) = 0[/tex].
Всъщност малко се заяждам де , това е така, просто местата на обединението и сечението са обърнати