3 компактни множества в пространството

[Baronov]

Дадени са 3 компактни множества в тримерното пространство. Да се докаже, че съществува равнина, която разделя всяко едно от тях на 2 подмножества с равен обем (Лебегова мярка).

[drago]

Не виждам защо е изискването за компактност, освен, че малко опростява нещата чисто технически !?
Готина задача!
Може да се раздели на 2 етапа.
1. Същото твуърдение, но когато 3-те множества са елементарни- състоят се примерно от краен брой паралелепипеди.
2. Ако твърдението в т.1 е доказано, преминаване към общия случай.

Да ги почнем отзад напред. Т.2 е чисто техническо упражнение, нищо повече. За т.1 - хмм тук е идейната част на задачата!!

[mkmarinov]

Един въпрос: това еквивалентно ли е на (по-точно, съдържа ли в себе си) стереометричната задача "Дадени са три тела в пространството. Да се докаже, че съществува равнина, която разполовява обемите и на трите" ?

[Baronov]

Един въпрос: това еквивалентно ли е на (по-точно, съдържа ли в себе си) стереометричната задача "Дадени са три тела в пространството. Да се докаже, че съществува равнина, която разполовява обемите и на трите" ?

Струва ми се, че задачата за която говориш е частен случай. Какво точно означава тяло в пространството?

[grav]

Равнина разделя дадено компактно множество на две части с равни обеми тогава и само тогава когато минава през центъра на масата му. За три множества трябва да минава през центровете на всяко от телата. Три точки в пространството определят равнина, и то единствена.

[mkmarinov]

Равнина разделя дадено компактно множество на две части с равни обеми тогава и само тогава когато минава през центъра на масата му.

За това не съм сигурен.

[grav]

Равнина разделя дадено компактно множество на две части с равни обеми тогава и само тогава когато минава през центъра на масата му.

За това не съм сигурен.

При равномерна плътност, маса и обем са едно и също понятие. Ако равнина минава през масовия център, но разделя тялото на две части с различен обем, тогава частите ще имат различна маса. Което ще противоречи на предположението, че равнината минава през масовия център.

[mkmarinov]

Това не е вярно. Не всяка равнина, минаваща през центъра на масите, разделя тялото на две равномасови/равнообемни тела.

[grav]

Това не е вярно. Не всяка равнина, минаваща през центъра на масите, разделя тялото на две равномасови/равнообемни тела.

Dobre, sigurno si prav, no kaji zashto.

[mkmarinov]

Представи си правилна триъгълна призма (тоблерон). Ясно е, че центъра на масите лежи на отсечката, съединяваща медицентровете на двете основи. Ако вземем произволна равнина, минаваща през тази отсечка, то тя минава и през центъра на тежестта. Ясно е, че отношението, на което тази равнина разделя обема на тялото, е същото, като отношението, на което разделя лицето на основата (височината остава същата). Ако я вземем успоредна на едната страна, тя разделя лицето на триъгълника 3:1 (Талес), следователно разделя и обема на тоблерона в отношение 3:1.

[grav]

Hm, da prav si. Podvel sum se, i to elementarno. Razpredelenieto na masata/obema shte e razlichno. Tova koeto shte e ednakvo za dvete chasti e momenta.

[drago]

The "ham sandwich theorem". Следва от теоремата на Борсук-Улам. Изискването за компактност е излишно. Достатъчно е трите множества да са измерими (по Лебег), с крайна мярка.
http://en.wikipedia.org/wiki/Ham_sandwich_theorem