Множество запазващо се при 2-адична транслация

[Baronov]

Нека А е подмножество на единичната окръжност което остава инвариантно при ротация на ъгъл [tex]2^{-n}[/tex] радиана. Да се докаже, че или А или допълнението на А имат мярка нула.

[drago]

Нека допуснем, че [tex]m(A) \gt 0[/tex]. Избираме дост. малка(впоследствие доуточняваме) дъга [tex]I[/tex] в/у ед. окр., така че [tex]\frac{m(A \cap I)}{m(I)} \gt 1-\epsilon[/tex].
Теоремата на Лебег за плътността гарантира това.
Може да считаме [tex]|I|=2^{-n}[/tex]. От условието следва [tex]\frac{m \left(A \cap (I+k2^{-n})\right)}{m(I)} \gt 1-\epsilon, \ k=0,1,..., [\frac{2 \pi}{2^{-n}}]-1[/tex].
[tex]I + \alpha[/tex] означава транслирания на \alpha интервал.
Сега като изберем n дост. голямо и [tex]\epsilon[/tex] дост. малко, може да установим, че [tex]\frac{m(A)}{2\pi}[/tex] е колкото искаме близко до 1, което означава, че допълнението на A има мярка 0.