НСОМ 2011

[seppen]

Някой да е бил днес на НСОМ?
Какви задачи са се паднали? Интересно ми е, ама като гледам никой не бърза да ги сложи на сайта.

[1nr0ad]

Задача 1. Дадена е матрицата

[tex]B =
\begin{pmatrix}
-1 & 5 & 3\\
-2 & 1 & 2\\
0 & -2 &-3
\end{pmatrix}[/tex]

Да се докаже, че:
а) B има само един реален характеристичен корен (собствена стойност);
б) не съществува матрица A, за която [tex]3A^2 + A = B[/tex]


Задача 2. За [tex]k = 1, 2, 3, 4[/tex] полагаме:

[tex]J_k = \int_{0}^{\pi} coskx cos(k + 1)x ... cos2010x cos2011x dx[/tex]

Да се докаже, че:
а) [tex]J_2 = J_3 = 0[/tex]
б) [tex]J_4 > 0[/tex]
в) [tex]J_1 > 0[/tex]


Задача 3.
а) Нека [tex]n_1, n_2, ..., n_k, ...[/tex] са всички естествени числа, подредени по произволен начин. Да се докаже, че редът

[tex]\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(x - n_k)^k}{k! }[/tex]

е разходящ за всяко реално число x.

б) Да се докаже, че съществува подреждане [tex]q_1, q_2, ..., q_n, ...[/tex] на всички рационални числа така, че редът

[tex]\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(x - q_n)^n}{n! }[/tex]

е сходящ за всяко реално число x.

[drago]

Третата задача ми стана много интересна.
Различието м/у твърденията в а) и б) се дължи на факта, че рационалните числа могат да се подредят в редица [tex]\{ q_i\}_{i=1}^{\infty}[/tex] , така че [tex]\lim_{i \to \infty} \frac{q_i}{i} =0[/tex] , докато естествените не могат.
Нещо повече, за всяко подреждане на естествените числа в редица [tex]\{ n_i\}_{i=1}^{\infty}[/tex] съществува нейна подредица: [tex]\{ n_{k_i}\}_{i=1}^{\infty}[/tex] , за която:
[tex]\frac{n_{k_i}}{k_i} \ge \frac{1}{2},\, i=1,2,\dots[/tex]
Последното се доказва с допускане на противното и гарантира разходимостта на реда в а).

[Baronov]

Това А група ли е?

[seppen]

@Baronov - да. Вече задачите от всички групи ги има на официалния сайт - http://nsom.vuzf.bg/?page=tasks.