Периодична точка. АММ, 1995

[drago]

Скоро разглеждах стари броеве на АММ и ми попадна следната задача в раздела Problems and Solutions. При това авторът е българин.

Нека [tex]X[/tex] е изброимо, компактно, Хаусдорфово пространство. Функцията [tex]f: X \to X[/tex] е непрекъсната.
Докажете, че [tex]f[/tex] има периодична точка, т.е. [tex]\exists x \in X,\, n \in \mathbb{N},\, f^n(x) = x.[/tex]

AMM, м.? / 1995г., Предложена от: Симеон Стефанов.

Замислих се за момент дали да не я сложа в "Задача на седмицата", но поради развихрилите се спорове напоследък се въздържам. Обаче се надявам, че всеки ще усети по какво се отличава един шедьовър.
А който не знае (и не му се рови) какво означават термините в първото изречение, може да си мисли че [tex]X[/tex] e изброимо затворено и ограничено множество върху [tex]\mathbb{R}[/tex]. Почти сигурно е, че ако успее да го докаже в тази ситуация, то доказателството ще се прехвърли и за абстрактния случай.

[drago]

AMM Problem 10476
Solution: http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/AMM/AMM10476.pdf