Сума от косинуси

[mkmarinov]

Нека [tex]S_n(x)=\sum_{k=1}^n \frac{coskx}{k}[/tex]. Да се покаже, че функцията [tex]S_{n+1}(x)+S_n(x)[/tex] е монотонна в интервала [tex][0;\pi][/tex].
Да се докаже, че [tex]S_n(x) \ge -1 \forall x \in [0;\pi], n \in N[/tex]
Да се намери [tex]\lim_{n \to \infty} inf \{\min_{x \in [0;\pi]}S_n(x) \}[/tex]

[grav]

Дай упътване. Като я погледне задачата, човек се сеща за Фурие, но нищо не намерих.

[mkmarinov]

Нямам си идея. Решил съм само първата подточка, по очевидния метод .

[drago]

Нека [tex]S_n(x) + S_{n+1}(x) = \phi(x)[/tex]. Тогава [tex]\phi(x)[/tex] е намаляваща в [tex][0, \pi][/tex].
Най-малката и стойност е = [tex]\phi(\pi) = \frac{(-1)^{n+1}}{n+1} + 2 \sum_{i=1}^n \frac{(-1)^i}{i}[/tex]. Последната сума клони към [tex]- 2 \ln 2[/tex].(алтернативния хармоничен ред).
(1) [tex]S_n(x) = (\phi(x) - \frac{\sin(n+1)x}{n+1})/2 \geq \frac{\phi(\pi)}{2} -\frac{1}{2(n+1)}[/tex]

(2) Забележете, че равенството в (1) се достига за нечетно[tex]n[/tex].

Това отговаря и на втория въпрос: Дясната страна на (1) клони към [tex]- ln2 > -1[/tex], така че за големи [tex]n,\, S_n(x) > -1[/tex] . Доказателството, че това е така за [tex]\forall n \in \mathbb{N}^*[/tex] e технически въпрос.

За третото:От (1) и (2) следва:

[tex]\lim_{n \to \infty}\inf (\inf_{x\in [0,\pi]} S_n(x)) = - \ln 2[/tex].