Ограничаване на интеграл

[mkmarinov]

Дадени са числата [tex]a>0[/tex] и b, като [tex]|b| \le a[/tex].
Нека [tex]F(a,b)[/tex] е множеството от диференцируеми в интервала [tex][0;1][/tex] функции, за които важи
[tex]f(0)=0[/tex]
[tex]f(1)=b[/tex]
[tex]\max_{x \in [0;1]}|f'(x)|=a[/tex]

Да се намерят [tex]\sup_{f \in F}\int_0^1f(x)dx[/tex] и [tex]\inf_{f \in F}\int_0^1f(x)dx[/tex]

[drago]

Нека пуснем през (0,0) права с ъглов коефициент [tex]a[/tex], а през (1,b)- права с ъглов коеф. [tex]-a[/tex]. Те се пресичат в т. [tex](x_1, y_1); \, x_1 \in (0,1)[/tex]. x_1 се смята.
Нека [tex]f_1(x)[/tex] е частично линейната функция, която е равна на 1-вата права за [tex]x\in [0,x_1][/tex] и на 2-рата за [tex]x\in[x_1,1][/tex].
Toгава [tex]f(x) \leq f_1(x) \, \forall x\in [0,1],\, \forall f \in F[/tex].
Това се доказва лесно с допускане на противното и теоремата за крайните нараствания.
От тук =>
[tex]\sup_{f\in F} \int_0^1 f(x)\, dx \leq \int_0^1 f_1(x)\, dx[/tex]
Всъщност лесно се вижда че дясното е и sup, защото можем да приближим f_1 произволно близко с функции от F .

За inf - подобни разсъждения,само че
през (0,0) права с ъглов коефициент [tex]-a[/tex], а през (1,b)- права с ъглов коеф. [tex]a[/tex]...