НСОМ, 2008

[mkmarinov]

Дадена е функция [tex]f: [0,1] \to [0,1][/tex].
а) Ако f е непрекъсната, да се докаже, че f има постоянна точка.
б) Ако f е растяща, да се докаже, че f има постоянна точка.
в) Съществува ли намаляваща функция f, която няма постоянна точка?

Един въпрос - f e растяща/намаляваща не е ли по-силно твърдение от f е непрекъсната?

[drago]

Приятна задача, но е лесна за НСОМ. Всъщност а) и в) са тривиални.
а) е едномерния случай на теоремата на Брауер или пък се разглежда f(x)-x и за нея се прилага теоремата на Вайерщтрас.

б) Разглеждаме [tex]M = \{x| f(x) < x\}[/tex].
Нека означим:
(1) [tex]x_0 = \inf M[/tex].

[tex]M[/tex]не е празно, тъй като [tex]1 \in M[/tex], иначе [tex]1[/tex] ще е неподвижна точка. Сега да видим колко е [tex]f(x_0)[/tex].

Ako [tex]f(x_0) < x_0[/tex], то това ще е така и мъничко по-наляво от [tex]x_0[/tex], т.е. няма как да е изпълнено (1)

Ако [tex]f(x_0) > x_0[/tex], то това ще е така и малко по-надясно от [tex]x_0[/tex] , т.е. пак няма как да е вярно (1).

Остава [tex]x_0[/tex] да е неподвижна точка.

в) съществува.

Растяща е различно от непрекъсната, може да е растяща/намал. , но да не е непрекъсната, както и обратното.

[grav]

Докато я мислех вчера, Драго ме е изпреварил, но искам да отблежа, че намирам в) за неочаквано. Ако не беше част от задачата щах да си помисля, че няма такива функции. Понеже задачата е формулирана така се досещах, че има такива функции, но очаквах да е трудно да се намери такава. След замисъл е очевидно, че има такива функции. Сега даже ми е чудно защо първата ми реакция беше такава, при условие, че е съвсем очевидно!!!

[mkmarinov]

Да... Моята заблуда за б) и в) идваше оттам, че мислех, че всяка монотонна функция е непрекъсната. Което е очевидно невярно.
Един пример за в):
[tex]f(x) = 1-\frac{x}{4}[/tex] за х<1/2 и [tex]f(x)=\frac{1}{4}-\frac{x}{4}[/tex] за х>=1/2.

[mkmarinov]

А как ще седят нещата, ако f е намаляваща и е биекция?

[drago]

В този случай f ще е непрекъсната.