Единствено решение на система уравнения

[mkmarinov]

Извинявам се ако задачата е прекалено лесна за този раздел, но не се сетих за решение.
Да се докаже, че системата
[tex]\begin{tabular}{|l}x_1+x_2+\dots+x_n=0 \\ x_1^2+x_2^2+\dots + x_n^2 = 0 \\ \dots \\ \dots \\ \dots \\ x_1^n+x_2^n+\dots+x_n^n=0\end{tabular}[/tex] има единствено решение [tex]x_1=x_2=\dots=x_n=0[/tex].

[grav]

Разглеждаме полинома с корени решението [tex]\prod(t-x_i)[/tex]. Коефициентите му са елементарните симетрични функции с точност до знак. От условието и тъждествата на Нютон те са нули. Следожателно полинома е [tex]t^n=0[/tex], и корен е само нулата.

[0xdeadbeef]

Един начин за решение е като разгледаме системата

[tex]\begin{tabular}{|l} &\lambda_1 x_1+ & \lambda_2 x_2+&\dots+&\lambda_nx_n=&0 \\ &\lambda_1x_1^2+&\lambda_2x_2^2+&\dots + &\lambda_nx_n^2 = &0 \\ & &\dots & \dots & & \\ &\lambda_1x_1^n+&\lambda_2x_2^n+&\dots+&\lambda_nx_n^n=&0\end{tabular}[/tex]

, нейната детрминанта [tex]\Delta = x_1x_2\dots x_n \prod_{n\ge i > j \ge 1} (x_i - x_j)[/tex] и случайте когато [tex]\Delta = 0[/tex].