Курсова работа, проблем с 3 от задачите

[eXecuteR]

Имам да пиша курсова работа, която се състои от 10 задачи, но имам проблем с 3 от тях... не мога да ги реша, някой може ли да ми помогне да ги реши:

Задача1: Да се намерят всички матрици А[tex]\in[/tex][tex]M_{2 }[/tex](R), такива, че rank([tex]A^{2 }[/tex]) < rank(A). Линейно пространство ли е множеството от всички матрици ?

Задача2: Да се намерят собствените стойности и собствените вектори на линейния оператор [tex]\varphi[/tex] , който в даден базис има матрица.

Задача3: Нека [tex]e_{1 }[/tex], [tex]e_{2 }[/tex], [tex]e_{3 }[/tex] е базис на V и [tex]\varphi[/tex][tex]\in[/tex]Н от V изобразява векторите [tex]a_{1 } = e_{1 } + 2e_{2 } - 3e_{3 } ,
a_{2 } = 3e_{1 } + 2e_{2 } - 4e_{3 } ,
a_{3 } = 2e_{1 } - e_{2 }[/tex]
съответно във векторите [tex]b_{1 } = e_{1 } - 3e_{2 } ,
b_{2 } = 10e_{1 } + 2e_{2 } + 7e_{3 } ,
b_{3 } = 10e_{1 } + 7e_{2 } + 8e_{3 }[/tex]

a) Да се докаже, че векторите [tex]a_{1 }, a_{2 }, a_{3 }[/tex] образуват базис на V.
б) Да се намери матрицата на[tex]\varphi[/tex] в базиса [tex]e_{1 }, e_{2 }, e_{3 }[/tex].

Ето и самата матрица:

А = [tex]\left{ \begin{array}{ll} 2&&&&-5&&&&-3 \\ -1&&&&-2&&&&-3 \\ 3&&&&15&&&&12 \end{array} \right}[/tex]

Благодаря ви предварително !!!