Собствени вектори и собствени значения

[math10acc]

Здравейте. Искам помощ за една задачка, а тя е: Намерете собствените вектори и собствените значения на линейно преобразувание зададено с матрицата А и ортогонализирайте по метода на Грам и Шмид системата от собствени вектори.

Стигнал съм до тук:

[tex]A = \left(\begin{array}{rrr}
1 & -2 & 2 \\
-2 & -2 & 4 \\
2 & 4 & -2\end{array}\right)[/tex],

[tex]det(A-\lambda E)=\begin{array}{|rrr|}
(1-\lambda) &-2&2\\
-2&(-2-\lambda) &4\\
2&4&(-2-\lambda)
\end{array}=0[/tex]

[tex]-\lambda^3 - 3\lambda^2 + 24\lambda -28 = 0[/tex]

Собствените стойности/корените са [tex]\lambda_1 = 2[/tex] и [tex]\lambda_2 = -7[/tex]
Два ли са корените? Щото видях в една тема във форума бяха написали 3 корена за дет от 3-ти ред като първите 2 корена бяха равни.

при [tex]\lambda_1 = 2[/tex]

Хомогенната система

[tex]\begin{tabular}{|l}
(1-2)\alpha_1 -2\alpha_2 +2\alpha_3 =0\\
-2\alpha_1 + (-2-2)\alpha_2 + 4\alpha_3 =0\\
2\alpha_1 + 4\alpha_2 + (-2-2)\alpha_3=0
\end{tabular}[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}
-\alpha_1 -2\alpha_2 +2\alpha_3 =0\\
-2\alpha_1 -4\alpha_2 + 4\alpha_3 =0\\
2\alpha_1 + 4\alpha_2 -4\alpha_3=0
\end{tabular}[/tex]

Има решение

[tex]\begin{tabular}{|l}
\alpha_1 = -2p +2q\\
\alpha_2 = p\\
\alpha_3 = q
\end{tabular}[/tex]

[tex]\alpha_1[/tex] чрез първия ред


избираме [tex]p = 1[/tex] ,[tex]q = 0[/tex]

[tex]\vec{a_1} = (-2, 1, 0)[/tex]
Като направя проверка на 3те реда от системата сичко е ОК
===============================

при [tex]\lambda_2 = -7[/tex]

Хомогенната система

[tex]\begin{tabular}{|l}
(1+7)\beta_1 -2\beta_2 +2\beta_3 =0\\
-2\beta_1 + (-2+7)\beta_2 + 4\beta_3 =0\\
2\beta_1 + 4\beta_2 + (-2+7)\beta_3=0
\end{tabular}[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}
8\beta_1 -2\beta_2 +2\beta_3 =0\\
-2\beta_1 + 5\beta_2 + 4\beta_3 =0\\
2\beta_1 + 4\beta_2 + 5\beta_3=0 \end{tabular}[/tex]

Има решение....

[tex]\begin{tabular}{|l}
\beta_1 = p\\
\beta_2 = q\\
\beta_3 = q - 4p\end{tabular}[/tex]

[tex]\beta_3[/tex] чрез първия ред

избираме [tex]p = 0[/tex] ,[tex]q = 1[/tex]
И каквито и да напиша стойности на [tex]p[/tex] и [tex]q[/tex] нещо не ми излиза правилно.. само за първия ред от системата.
[tex]\vec{a_1} = (0, 1, 1)[/tex]

Да ми кажете къде ми е грешката? Може да е в самия метод на задачата може и просто нещо сметките да съм объркал, но не мога да намеря какво точно.

[nikko]

Изобщо грешката ти е, че не решаваш правилно хомогенните системи. Метод на Гаус (Гаус-Жордан)? Теорема на Кронекер-Капели (Руше)?

Иначе по същество. Само 2 е двоен корен, т.е. за собствената стойност 2, ти е правилно за [tex]a_1[/tex]
следва от същата система да намериш втори собствен вектор, свързан със същата с.с. 2,
просто даваш p=0, q=1 и намираш a_2
При [tex]\lambda=-7[/tex] трябва при правилно решение хомогенната ти система да зависи само от един параметър и оттам единствен собствен вектор. Така ще станат 3.

[stflyfisher]

Я виж тук

[math10acc]

[tex]-\lambda^3 - 3\lambda^2 + 24\lambda -28 = 0[/tex]

По Хорнер

[tex]\begin{tabular}{r |r | r | r |}
& -1 & -3 & 24 & -28 \\ \hline
2 & -1 & -5 & 14 & 0 \\ \hline
2 & -1 & -7 & 0 \\ \hline
2 & -1 & 14 \\ \hline
-7 & -1 & 4 & -4 & 0 \\ \hline
-7 & -1 & 11 & -81 & & & \\ \hline
\end{tabular}[/tex]

2 e двоен корен значи трябва да избереме и втори собствен вектор нали така до колкото разбрах..

Собствените стойности са [tex]\lambda_1 = \lambda_2 = 2[/tex] и [tex]\lambda_3 = -7[/tex]

при [tex]\lambda_1 = \lambda_2 = 2[/tex]

Хомогенната система

[tex]\begin{tabular}{|l}
(1-2)\alpha_1 -2\alpha_2 +2\alpha_3 =0\\
-2\alpha_1 + (-2-2)\alpha_2 + 4\alpha_3 =0\\
2\alpha_1 + 4\alpha_2 + (-2-2)\alpha_3=0 \end{tabular}[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}
-\alpha_1 -2\alpha_2 +2\alpha_3 =0\\
-2\alpha_1 -4\alpha_2 + 4\alpha_3 =0\\
2\alpha_1 + 4\alpha_2 -4\alpha_3=0 \end{tabular}[/tex]

Има решение

[tex]\begin{tabular}{|l}
\alpha_1 = -2p +2q\\
\alpha_2 = p\\
\alpha_3 = q\end{tabular}[/tex]

[tex]\alpha_1[/tex] чрез първия ред

избираме [tex]p = 1[/tex] ,[tex]q = 0[/tex]

[tex]\vec{a_1} = (-2, 1, 0)[/tex]

тъй като 2 е двоен корен
избираме [tex]p = 0[/tex] ,[tex]q = 1[/tex] за втория собствен вектор

[tex]\vec{a_2} = (2, 0, 1)[/tex]

=======================
при [tex]\lambda_3 = -7[/tex]

Имаме 3 собствени стойности защото от двата корена 2 е двоен и -7 е единичен демек двоен + единичен = 3 собствени стойности нали така?

И как разбираме дали ще зависи от 1 или 2 или повече параметъра.. Може да е елементарно, но имам не ясни работи..
И ако може да ми помогнете с [tex]\lambda_3 = -7[/tex] , че нещо не ми е ясно, Гаус..Руше.. какво точно трябва да направя със системата.

EDIT-- stflyfisher гледам я тази тема, но не отговаря на някои от моите въпроси :S

[math10acc]

Така мисля, че с малко зор открих някои работи

при [tex]\lambda_1 = \lambda_2 = 2[/tex]

[tex]A = \left(\begin{array}{rrr}
1-2 & -2 & 2 \\
-2 & -2-2 & 4 \\
2 & 4 & -2-2\end{array}\right)[/tex]

[tex]A = \left(\begin{array}{rrr}
-1 & -2 & 2 \\
-2 & -4 & 4 \\
2 & 4 & -4\end{array}\right)[/tex]

първия ред [tex]* -2[/tex] към втория и пак първия [tex]* 2[/tex] към третия и е получава

[tex]A = \left(\begin{array}{rrr}
-1 & -2 & 2 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{array}\right)[/tex]

[tex]r(A) = 1 < 3 = N[/tex]
[tex]3 - 1 = 2[/tex] зависи от [tex]2[/tex] параметъра. Замествам системата по тая матрица и решавам по горния начин..

=============================
Ето го и прословутото -7 хаха

при [tex]\lambda_3 = -7[/tex]

[tex]A = \left(\begin{array}{rrr}
1+7 & -2 & 2 \\
-2 & -2+7 & 4 \\
2 & 4 & -2+7\end{array}\right)[/tex]

[tex]A = \left(\begin{array}{rrr}
8 & -2 & 2 \\
-2 & 5 & 4 \\
2 & 4 & 5\end{array}\right)[/tex]

първия ред [tex]* \frac{1}{4}[/tex] към втория и пак първия [tex]* -\frac{1}{4}[/tex] към третия и е получава

[tex]A = \left(\begin{array}{rrr}
8 & -2 & 2 \\
0 & \frac{9}{2} & \frac{9}{2} \\
0 & \frac{9}{2} & \frac{9}{2}\end{array}\right)[/tex]

Втория ред към третия с [tex]-1[/tex]

[tex]A = \left(\begin{array}{rrr}
8 & -2 & 2 \\
0 & \frac{9}{2} & \frac{9}{2} \\
0 & 0 & 0\end{array}\right)[/tex]

[tex]r(A) = 2 < 3 = N[/tex]
[tex]3 - 2 = 1[/tex] зависи от [tex]1[/tex] параметър

[tex]\begin{tabular}{|l}
8\beta_1 -2\beta_2 +2\beta_3 =0\\
\frac{9}{2}\beta_2 + \frac{9}{2}\beta_3 =0\end{tabular}[/tex]

[tex]\beta_3 = p\\
\beta_2 = -p\\
\beta_1 = -\frac{p}{2}[/tex]

избираме [tex]p = 1[/tex]

[tex]\vec{a_3} = (-\frac{1}{2}, -1, 1)[/tex]

Ако имате забележки или ми откриете грешка.. Кажете!

Сега ще премина към другата част от задачата и ако не се справя.. ще ви питам пак