Производна задача по ЛАГ

[vankata_321]

Здравейте,

Някой можели да реше следната производна задача (с малко разяснения няма да е излишно)
[tex]y = tgx + \frac{3x^{7 } - \sqrt[3]{x^{2}}}{ sin(2x-5)} + (2x)^{arcsin x}[/tex]

Благодаря Ви предварително

[ammornil]

Какво точно искаш да се реши?
[tex]y=tgx+\frac{3.x^{^{7}}-\sqrt[3]{x^{^{2}}}}{sin(2.x-5)}+(2x)^{^{arcsinx}}[/tex]

ДМ: [tex]\ x \ne \pm \frac{\pi}{2} \pm k.\pi \\ x \ne \frac{5}{2} \\|x| < 1 \\ x \ne 0[/tex], където:

***дефинира tg(x)

***дефинира знаменателя sin(2.x-5)

***дефинира съществуване и диференцируемост на arcsin(x). Забележи, че arcsinx е дефинирана за x=1, но няма първа производна понеже [tex][arcsin(x)]'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/tex]

***дефинира съществуването на lnx (ще видиш защо е важно това по-надолу в решението)

Така додефинирана дадената функция има първа производна във вида:

[tex]y'=\frac{1}{cos^{^{2}}x}+\frac{(21.x^{^{6}}-\frac{2}{3.\sqrt[3]{x}}).sin(2.x-5)-(3.x^{^{7}}-\sqrt[3]{x^{^{2}}}).cos(2.x-5).2}{sin^{^{2}}(2.x-5)}+[/tex]

[tex]\hspace{80} +\frac{1}{\sqrt{1-x^{^{2}}}}.2^{^{arcsinx}}.ln2.x^{^{arcsinx}}+2^{^{arcsinx}}.\left(\frac{1}{\sqrt{1-x^{^{2}}}}.lnx+arcsinx.\frac{1}{x} \right).x^{^{arcsinx}}[/tex],

което следва да се опрости но честно казано не ми се занимава сега. По-съществено е как стигнах до този израз?

Дадена е функцията: [tex]y=tgx+\frac{3.x^{^{7}}-\sqrt[3]{x^{^{2}}}}{sin(2.x-5)}+(2x)^{^{arcsinx}}[/tex]

Нека: [tex]t(x)=tgx, \hspace{15} u(x)=3.x^{^{7}}-\sqrt[3]{x^{^{2}}}, \hspace{15} v(x)=sin(2.x-5), \hspace{15} w(x)=2^{^{arcsinx}}, \hspace{15} z(x)=x^{^{arcsinx}}[/tex]

Тогава: [tex]y=t(x)+\frac{u(x)}{v(x)}+w(x).z(x)[/tex]

Следователно [tex]y'=t'(x)+\frac{u'(x).v(x)-u(x).v'(x)}{[v(x)]^{^{2}}}+ w'(x).z(x) +w(x).z'(x)[/tex]

Подфункциите са вече известни, нека намерим първите им производни:

[tex]t'(x)=\frac{1}{cos^{^{2}}x}[/tex] -таблична производна

[tex]u'(x)=3.7.x^{^{(7-1)}}-\left( x^{^{\frac{2}{3}}} \right)'=21.x^{^{6}}-\frac{2}{3}.\left( x^{^{\frac{2}{3}}-1} \right)= 21.x^{^{6}}-\frac{2}{3}.x^{^{-\frac{1}{3}}}= 21.x^{^{6}}-\frac{2}{3.\sqrt[3]{x}}[/tex]

[tex]v'(x)=[sin(2.x-5)]'.(2.x-5)'=cos(2.x-5).2=2.cos(2.x-5)[/tex]

[tex]w'(x)=(2^{^{arcsinx}})' .(arcsinx)'=2^{^{arcsinx}}.ln2.\frac{1}{\sqrt{1-x^{^{2}}}}[/tex]

[tex]z'(x)=?[/tex]

[tex]z(x)=x^{^{arcsinx}} \hspace{5} \Rightarrow z(x) \ne 0 \hspace{15} \Rightarrow ln[z(x)]=ln[x^{^{arcsinx}}] \hspace{15} \Rightarrow ln[z(x)]=arcsinx.lnx[/tex]

[tex]\left\{ ln[z(x)] \right\} ' =(arcsinx.lnx)' \hspace{15} \Rightarrow \frac{1}{z(x)}.z'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{^{2}}}}.lnx+arcsinx.\frac{1}{x} \hspace{15}[/tex]

[tex]\Rightarrow z'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.lnx+arcsinx.\frac{1}{x}.z(x) \hspace{15} \Rightarrow z'(x)=\left(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.lnx+arcsinx.\frac{1}{x} \right).x^{arcsinx}[/tex]

Принципно е това. Възможно е в бързината да съм допуснал грешка при преписване или пренасяне. Провери!

[ammornil]

Освен това за да съществува z'(x) трябва [tex]x^{arcsinx} >0[/tex]