Три задачи по аналитична геометрия

[Black_Devil]

(1) Даден е триъгълника ABC: B(1,1), [tex]m_{a}[/tex]: 2x - y - 7 = 0, [tex]h_{a}[/tex]: x - y - 5 = 0
Съставете уравненията на страните на триъгълника.

(2) Съставете уравненията на страните на триъгълник ABC, ако са дадени: върхът А(-2,1), височината h: x - 3y + 4 = 0 и медианата m: 5x - 7y + 4 = 0 през един и същи връх на триъгълника.

(3) Правите x + y - 1 = 0 и 3x - y + 4 = 0 са две страни на успоредник. Точка N(3,3) e пресечна точка на диагоналите. Напишете уравненията на другите две страни на успоредника.

[Anubis]

Зад. 3. Нека [tex]AB: \, y = 3x+4, \quad AD: \, y = 1-x[/tex]. При това [tex]A \left ( -\frac{3}{4}; \, \frac{7}{4} \right )[/tex].

[tex]N(3; \, 3)[/tex] е среда на отсечката [tex]AC[/tex]. Ако [tex]C \left ( x_{0}; \, y_{0} \right )[/tex], то

[tex]\begin{array}{||} \frac{-\frac{3}{4}+x_{0}}{2} = 3 \\ \frac{\frac{7}{4}+y_{0}}{2} = 3 \end{array} \quad \Rightarrow \quad x_{0} = \frac{27}{4}, \quad y_{0} = \frac{17}{4}; \quad C \left ( \frac{27}{4}; \, \frac{17}{4} \right )[/tex].

[tex]BC||AD \Rightarrow BC: \, y = -x + c[/tex] (успоредните прави имат едни и същи ъглови коефициенти).

Понеже [tex]C[/tex] лежи на тази права [tex]BC[/tex], нейните координати удовлетворяват уравнението.

Заместваме ги в него и определяме [tex]c = 11 \Rightarrow BC: \, x+y = 11[/tex].

Аналогично

[tex]- \quad AB||CD \Rightarrow CD: \, y = 3x + b; \quad C \in CD \Rightarrow y_{0} = 3x_{0}+b \Rightarrow b = -16 \Rightarrow CD: \, y = 3x-16[/tex].

[Anubis]

Зад. 1. Правата [tex]AH: \, y = x-5[/tex] има ъглов коефициент [tex]k_{1}=1[/tex]. Понеже [tex]AH \bot BC[/tex], то

[tex]BC: \, y = k_{2}x + m[/tex] и [tex]k_{1}k_{2}=-1[/tex]. Оттук намираме [tex]k_{2}=-1[/tex], т. е. [tex]BC: \, y = -x+m[/tex].

[tex]B(1; \, 1) \in BC \Rightarrow 1 = -1 + m \Rightarrow m = 2 \Rightarrow \fbox{BC: \, x + y = 2}[/tex]

[tex]BC \cap m_{a} = M \Rightarrow \begin{array}{||} 2x-y=7 \\ x+y=2 \end{array} \Rightarrow x=3, \quad y=-1 \Rightarrow \fbox{M(3; \, -1)}[/tex]

Точката [tex]M[/tex] е среда на отсечката [tex]BC[/tex], така че нейните координати са средно

аритметични от сумата на съответните координати на [tex]B[/tex] и [tex]C[/tex]. Тогава [tex]\fbox{C(5; \, -3)}[/tex].

[tex]m_{a} \cap h_{a} = A \Rightarrow \begin{array}{||} 2x-y-7=0 \\ x-y-5=0 \end{array} \Rightarrow x = 2, \quad y = -3 \Rightarrow \fbox{A(2; \, -3)}[/tex]

Остава само да напишем скаларните параметрични уравнения на правите [tex]AB[/tex] и [tex]AC[/tex].

[tex]AB: \quad \begin{array}{||} x = 1-s \\ y = 1+4s \end{array}, \quad AC: \quad \begin{array}{||} x = 2+3t \\ y = -3+0t \end{array}[/tex]

Изключваме параметрите [tex]s, \, t[/tex] оттук и получаваме общите уравнения на правите.

[tex]\fbox{AB: \, 4x+y-5=0}, \quad \fbox{AC: \, y+3=0}[/tex]