Уравнение на права в равнина

[Гост]

Бихте ли ми решили тази задача:

Да се намери уравнението на права, минаваща през точка М(2,3) и перпендикулярна на правата, съединяваща точките К(1,7) и Х(-2,-5). Отг: х+4у-14=0

[Anubis]

[tex]\vec{KX}(-3; \, -12) \sim (3; \, 12) \sim (1; \, 4)[/tex]

Правата, колинеарна с вектора [tex]\vec{KX}[/tex] и минаваща през [tex]K, \, X[/tex], има уравнения

[tex]a: \quad \begin{array}{||}x=1+s \\ y=7+4s\end{array} \Rightarrow a: \quad 4x-y+3=0[/tex].

Векторът [tex]p(4; \, -1) \bot a[/tex]. Трябва да напишем уравнение на права, минаваща през [tex]M(2; \, 3)[/tex] и

колинеарна с [tex]p[/tex].

[tex]m: \quad \begin{array}{||}x = 2+4s \\ y = 3-s\end{array} \Rightarrow m: \quad \frac{x-2}{4}=3-y \Rightarrow m: \quad x+4y-14=0[/tex]

[Гост]

Благодаря много!

[Michelle]

Да се намерят уравненията на страните на триъгълника АВС, ако правите с уравнения: 3х+у+11=0 и х+2у+7=0 са височина и медиана през различни върхове и В(2,7).
Отг.: х-3у-23=0; 4х+3у+13=0; 7х+9у+19=0

След като си начертах триъгълника установих,че СН е перпендикулярна на АВ => КсН*КаВ = -1
СН: 3х+у+11=0
у=-3х-11
КСН= -3

-3 * КаВ=-1 и ми се получава 1/3. Така ли е?! И след това продължавам с намирането на АВ по формулата у-у0=к(х=х0).
След като изчислих АВ ми се получи някакво смотано уравнение с дроби. А в отговорите не са дроби. Вероятно нещо не правя както трябва. Вярно ли е?

И после как продъжавам със задачата? Някой би ли ми помогнал. Не съм на ти.

[s.karakoleva]

На прав път сте, но има грешка в координатите на B - трябва да са (2,-7).

Ето накратко плана на решението:
1. Първо се проверява дали т. B лежи върху h или m, като нейните координати се заместват в у-та. Установява се, че не лежи. Нека височината h е през т. C, а медианата m - през А.
[tex]CH\to y=-3x-11\Rightarrow k_{CH}=-3[/tex].
[tex]CH\perp AB\Rightarrow k_{AB}k_{CH}=-1\Rightarrow k_{AB}=\frac13[/tex]
[tex]AB\to y+7=\frac13 (x-2) \Rightarrow x-3y-23=0[/tex]
2. [tex]A=m\cap AB[/tex]
Решават се като система у-та на m и AB и се получава A(5,-6).
3. Нека т. [tex]C(x_c, y_c)[/tex]
[tex]C \in h\Rightarrow 3x_c+y_c+11=0\qquad \ldots(1)[/tex]
Нека M е средата на BC и пресечна точка на m с BC. Координатите на [tex]M(\frac{x_c+2}{2}, \frac{y_c-7}{2})[/tex].

M лежи на медианата, следователно удовлетворява уравнението на m:
[tex]\frac{x_c+2}{2}+2\cdot \frac{y_c-7}{2}+7=0 \qquad\ldots (2)[/tex]

От (1) и (2) се получава система, от която се намира C(-4,1).

4. AC се построява през 2 точки: А(5,-6), C(-4, 1)

5. BC се построява през 2 точки: B(2,-7), C(-4, 1)

Отговорите са същите, каквито сте посочили.

[Michelle]

Искрено ви благодаря за помощта!

[Michelle]

Имам още един въпрос.
Намерете уравнението на права, минаваща през точка А(1,6) и перпендикулярна на правата а: у-6=0

Сега в този случай в уравнението за правата а: у-6=0 нямам х и не мога да определя колко е ъгловия коефициент,за да заместя във формулата: у-у0=к(х-х0). В този случай как процедирам?

Или к= просто на 0?

[Michelle]

Такааа, мисля че реши задачата Само ми кажете дали е правилна

a: y-6=0 -> y=6, a x=0

И директно замествам във формулата х-х1/х2-х1=у-у1/у2-у1
И получавам уравнението х+у-7=0 и замествам у със 6 и отговора е: х-1=0


Това ли е верният начин според вас?

[s.karakoleva]

a: y-6=0 -> y=6, a x=0

x=0 е само за 1 точка. Правата е успоредна на Ох и [tex]x\in( -\infty, \infty)[/tex].

Ето връзката между декартово и общо у-е на права:

Декартово у-е: [tex]y=kx+n[/tex]
Общо уравнение на права: [tex]ax+by+c=0\Rightarrow y=-\frac{a}{b}\cdot x -\frac{c}{b}[/tex]
Ъгловият коефициент е [tex]k=-\frac{a}{b}[/tex]

За задачата: Правата [tex]y=6[/tex] е успоредна на Ох. Тъй като двете прави са перпендикулярни, нейният нормален вектор е колинеарен на търсената права.

Ако права е зададена с общо уравнение [tex]ax+by+c=0\Rightarrow \vec{N}(a,b)[/tex]. За правата [tex]y-6=0[/tex] нормалният вектор е [tex]\vec{N}(0,1)[/tex].

Търсената права минава през т. (1,6) и е колинеарна на [tex]\vec{N}(0,1)[/tex].

От теорията: уравнение на права през т. [tex](x_0, y_0)[/tex] и колинеарна на [tex]\vec{s}(a,b)[/tex] е [tex]\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}[/tex]

[tex]\frac{x-1}{0}=\frac{y-6}{1}\Rightarrow x-1=0[/tex]

[Michelle]

Благодаря отново! Ще изследвам пак решението, което сте ми написали.

И всъщност моят отговор не е верен? Нищо, че съм получила същото?

[Michelle]

Разбрах последното решение.

Намерете уравнението на права, минаваща през точка Р(5,2) и отсичаща от координатните оси равни отрези.

Отг. х+у-7=0

[Гост]

Може ли да ми решите задачата:
A (4 1)
B (0 5)
C (-2 -3)
M среда на BC
N среда на AB
MN=?

[Гост]

Здравейте, ще съм много благодарен ако някой може да ми помогне с линейното уравнение: 2x-3y-6=0 да бъде преобразувано във вида Ax+Bx=1. Благодаря ви предварително!