Уравнения на права и равнина

[Гост]

Дадени са точките М (5,4,-1) и D (7,8,-5), уравнението на равнината Е: 2х+y+2z=0 и правата g: x=3-2t y=6+2t z=t , t ∈R.

a) предаставете уравнението на равнината Е1, съдържаща правата g и точката D, в параметрична и в координатна форма
б) докажете, че равнините Е и Е1 са паралелни. Определете уравнението на равнината Е2, паралена на първите две и отстояща на равни разстояния от двете равнини Е и Е1.,
в) Докажете, че точка М лежи върху правата g, а точка D не лежи. Пресметнете разстонието DМ и докажете, че DМ е перпендикулярна на g. Намерете координатите на точките А и С, които лежат на g и з атях важи |МА|=|МС|=|DМ|
г) Определете пречените точки на Е1 с х-оста и с у-оста на координатната система. Наречете тези пресечни точки съответно S1 и S2. Нека ОS1S2 да основата на пирамида, където О е с координати (0,0,0). Върхът на пирамидата е с координати S(а,0,b) b>0. Определете уравнението на правите, на които лежат всички точки S, ако пирамидата има обем V=72. Опишете положението на тези прави.

[Гост]

В декартова координатна система с начало точка О са дадени векторите а→(4,0,-2), b→(4,3/2,-1/2), c→(2,-2,-3).
a) докажете, че вектор с е линейна комбинаия на векторите а и b iи че векторите с и (а-b) са линейно независими
б) дадени са радиусвекторите на точките А,В,С съответно а→=ОА, b→ =ОВ, c→= ОС. Докажете че правите АВ= g и ОС= h се пресичат в точно една точка.
в) напишете векторно параметрично уравнение на равнината Е, съдържаща точките А,В,С.
г) Докажете, че точката D с координати (а,1, 1- а/2) (а∈R) лежи в равнината Е за всички стойности на параметъра а.
д) М - среда на вектора АС→. При какви стойности на параметъра а точките В,М и D ще лежат на една права?
е) Напишете нормалното уравнение на равнината Е
ж) Определете огледната точка Р' на точката Р(6,3,-9) спрямо равнината Е