Геометрия

[silvestar7]

Да се провери дали точките А(4,-2,-2) В(3,1,1) С(4,2,0) D(7,-1,-6) лежат в една равнина.
Ако може подробно решение (мерси предварително)

[Добромир Глухаров]

Най-напред намираме уравнението на равнината, определена от точките [tex]A,B,C[/tex]:

[tex](ABC):A_1x+A_2y+A_3z=1[/tex]

Заместваме [tex](x,y,z)[/tex] последователно с координатите на точките [tex]A,B,C[/tex]:

[tex]\|\begin{array}{l}4A_1-2A_2-2A_3=1\\3A_1+1.A_2+1.A_3=1\\4A_1+2A_2+0.A_3=1\end{array}[/tex]

Можем да решим тази система например с ф-лите на Крамер:

[tex]A_1=\frac{\|\begin{array}{rrr}1&-2&-2\\1&1&1\\1&2&0\end{array}\|}{\|\begin{array}{rrr}4&-2&-2\\3&1&1\\4&2&0\end{array}\|}=\frac{1.(1.0-2.1)-(-2)(1.0-1.1)+(-2).(1.2-1.1)}{4.(1.0-2.1)-(-2)(3.0-4.1)+(-2).(3.2-4.1)}=\frac{3}{10}[/tex]

[tex]A_2=\frac{\|\begin{array}{rrr}4&1&-2\\3&1&1\\4&1&0\end{array}\|}{\|\begin{array}{rrr}4&-2&-2\\3&1&1\\4&2&0\end{array}\|}=\cdots=-\frac{1}{10}[/tex]

[tex]A_3=\frac{\|\begin{array}{rrr}4&-2&1\\3&1&1\\4&2&1\end{array}\|}{\|\begin{array}{rrr}4&-2&-2\\3&1&1\\4&2&0\end{array}\|}=\cdots=\frac{2}{10}[/tex]

[tex](ABC):\frac{3x}{10}-\frac{y}{10}+\frac{2z}{10}=1\Rightarrow 3x-y+2z=10[/tex]

Сега заместваме [tex](x,y,z)[/tex] с координатите на т. [tex]D[/tex]:

[tex]3.7-(-1)+2(-6)=21+1-12=10\Rightarrow D[/tex] е от същата равнина.

[silvestar7]

Благодаря ти много