Медианата и височината при върха А(4,1,4) B(1,0,4), C(5,0,0)

[Гост]

Сприямо ортонормираната координатна система в пространството са дадени точките А(4,1,4) , B(1,0,4) , C (5,0,0) . Да се намерят дължините на медианата и височината при върха А , вътрешния ъгъл при върха С и лицето S на триъгълника ABC.

[Knowledge Greedy]

Да означим с [tex]M[/tex] Средата на [tex]BC.[/tex]
От условието [tex]B(1,0,4)[/tex] и [tex]C(5,0,0)[/tex] следва
[tex]M(\frac{1+5}{2 },\frac{0+0}{2 },\frac{4+0}{2 } )[/tex]
т.е. [tex]M(3,0,2).[/tex]
По условие [tex]A(4,1,4)[/tex] и по формулата намираме медианата
[tex]AM=\sqrt{( 3-4)^2+(0-1)^2 +(2-4)^2}[/tex]
[tex]AM=\sqrt{6}[/tex]
Нека точка [tex]D[/tex] е петата на височината [tex]AD,[/tex]
[tex]D\in BC[/tex] и [tex]D(x,y,z)[/tex] са координатите и в същата координатна система.
Тогава [tex]\vec{AD}(x-4,y-1,z-4)[/tex], [tex]\vec{BD}(x-1,y,z-4)[/tex], [tex]\vec{BC}(4,0,-4)[/tex].
[tex]AD\bot BC[/tex], тогава [tex]\vec{AD}.\vec{BC}=0[/tex] (1)
А от [tex]D\in BC[/tex] следва, че [tex]\exists \lambda[/tex] такова, че [tex]\vec{BD}=\lambda \vec{BC}[/tex] (2)
Записваме (1) скаларно (чрез координатите):
[tex]4(x-4)+0.(y-1)+(-4)(z-4)=0[/tex]
Същото повтаряме и за (2):
[tex]x-1=4\lambda[/tex]
[tex]y=0.\lambda[/tex]
[tex]z-4=-4\lambda[/tex]
Решаваме получената система и определяме [tex]x=z=\frac{5}{2 }[/tex] и [tex]y=0[/tex].
Значи[tex]D(\frac{5}{2 }, 0, \frac{5}{2 }).[/tex]
Отново с формулата за дължина на отсечка намираме височината [tex]AD=\frac{\sqrt{22} }{2 }.[/tex]
За лицето на [tex]\Delta ABC[/tex] e необходима и дължината на [tex]BC.[/tex]
[tex]BC=4\sqrt{2}[/tex]
[tex]S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2 }.4\sqrt{2}.\frac{\sqrt{22}}{2 }[/tex]
[tex]S_{\Delta ABC}=2\sqrt{11}[/tex]
С така намереното лице и дължините на [tex]AC[/tex] и [tex]BC[/tex] намираме [tex]sin{\angle{ACB}}.[/tex]
[tex]AC=3\sqrt{2} .[/tex]
[tex]sin{\angle{ACB}}=\frac {2S_{\Delta {ABC}}} {AC.BC }=\frac{\sqrt{11} }{ 6}[/tex]