Дължина на крива

[hades151]

Здравейте имам затруднения с тази задачка.

Да се пресметне дължината на кривата \gamma :

\vec{r} (t)=((2/3)*t^3+(1/2)*t^2 ; (-4/3)*t^3+(1/2)*t^2 ; (1/3)*t^3+t^2),t \in [0,1]

[kmitov]

[tex]\vec{r} (t)=((2/3)*t^3+(1/2)*t^2 ; (-4/3)*t^3+(1/2)*t^2 ; (1/3)*t^3+t^2), \ \ \ t \in [0,1][/tex]
Пресмятаме [tex]\vec{r}'(t)[/tex]
[tex]\vec{r} (t)=(2t^2+t ; -4t^2+t ; t^2+2t), \ \ \ t \in [0,1][/tex]
Сега пресмятаме
[tex]\sqrt{(2t^2+t)^2+(-4t^2+t)^2+(t^2+2t)^2}=\sqrt{4t^4+4t^3+t^2+t^2-8t^3+16t^4+t^4+4t^3+4t^2}[/tex]
[tex]=\sqrt{21t^4+6t^2}=t\sqrt{21t^2+6}[/tex]

Накрая дължината на дъгата се смята с интеграла

[tex]\int_0^1t\sqrt{21t^2+6}dt=\frac{1}{2}.\frac{1}{21}\int_0^1(21t^2+6)^{1/2}d(21t^2+6)=\left.\frac{1}{42}\frac{(21t^2+6)^{3/2}}{3/2}\right|_0^1=\frac{1}{63}(21.1^2+6)^{3/2}-\frac{1}{63}(21.0^2+6)^{3/2}[/tex]