Три задачи

[mathgm]

Ако някой може да ми напише решенията на тези три задачи:

Задача 1:
Съставете уравненията на страните на [tex]\Delta ABC,[/tex] ако са дадени:
а) върхът [tex]A(3,2)[/tex], ъглополовящата [tex]l_b[/tex] с уравнение [tex]3x - y - 12 = 0[/tex] и височината [tex]h_c[/tex] с уравнение [tex]3x + 4y + 18 = 0;[/tex]
б) върхът [tex]A(4,-3),[/tex] височината [tex]h:[/tex] [tex]x - 2y + 2 = 0[/tex] и медиана [tex]m:[/tex] [tex]x - y + 5 = 0[/tex] през един и същ връх на триъгълника;
в) върховете [tex]A(2,-9)[/tex] и [tex]B(-3,1)[/tex] и пресечната точка на медианите [tex]M({\frac23},{-\frac53}).[/tex]

Задача 2:
а) Дадени са върховете на [tex]\Delta ABC:[/tex] [tex]A(1,2),[/tex] [tex]B(3,4),[/tex] [tex]C(5,1).[/tex] Напишете уравненията на страните, височините и медианите на триъгълника. Намерете [tex]\vec{AB}.\vec{AC},[/tex] [tex]|\vec{AB}|,[/tex] [tex]cos\angle (\vec{AB},\vec{AC}).[/tex]
б) Даден е тетраедър с върхове [tex]A(2,0,3),[/tex] [tex]B(3,-1,4),[/tex] [tex]C(3,1,4)[/tex] и [tex]D(4,3,-1).[/tex] Намерете обема и дължината на височината му през върха [tex]D,[/tex] лицето на [tex]\Delta ABC,[/tex] [tex]sin\angle BAC,[/tex] [tex]cos\angle ACB.[/tex]

Задача 3:
Дадени са правата [tex]l:[/tex] [tex]3x - 2y - 1 = 0[/tex] и т. [tex]A(7,-3).[/tex] Намерете: ортогоналната проекция на т. [tex]A[/tex] върху [tex]l;[/tex] симетричната точка на т. [tex]A[/tex] относно [tex]l[/tex] и разстоянието от т. [tex]A[/tex] до [tex]l.[/tex]

[Knowledge Greedy]

Грамотното написване на условията говори, че имате потенциала да развиете решението в детайли.
За това ще Ви предложим само алгоритъм на по-високо ниво.

а) Съставете уравненията на страните на [tex]\Delta ABC[/tex], ако са дадени
върхът [tex]A(3,2)[/tex], ъглополовящата [tex]l_b[/tex] с уравнение [tex]3x - y - 12 = 0[/tex] и височината [tex]h_c[/tex] с уравнение [tex]3x + 4y + 18 = 0[/tex].
Решение:
I. Правата съдържаща [tex]AB[/tex] минава през дадената точка [tex]A(3;2)[/tex] И има колинеарен вектор [tex](3;4)[/tex] - защото е перпендикулярна на правата съдържаща дадената височина. Значи можем да напишем уравнението и.

II. Правата [tex]AB[/tex] и правата [tex]l_b[/tex] се пресичат в точката [tex]B[/tex] . Значи като решим съответната система, откриваме координатите на точката [tex]B[/tex].

III. Имайки уравненията на правите [tex]l_b[/tex] и [tex]AB[/tex], имаме и техните нормални вектори [tex](3;-1)[/tex] и [tex](3;4)[/tex]. Чисто технически - с формулата за скаларно произведение и с техните дължини, откриваме косинуса на ъгъла между тях. Т.е. намираме [tex]cos{\left ( \frac{\beta }{2 }\right )}[/tex] .

IV. През точката [tex]B[/tex] построяваме права (написваме уравнението на права), която сключва с [tex]l_b[/tex] ъгъл, чиито косинус е намереният [tex]cos{\left ( \frac{\beta }{2 }\right )}[/tex] - ще се получат две уравнения - едното е на познатата права [tex]AB[/tex], а другото е на правата [tex]BC[/tex] .

V. С уравненията на правите [tex]BC[/tex] и [tex]h_C[/tex] образуваме система, чието решение са координатите на върха [tex]C[/tex].

VI. Написваме уравнението на правата [tex]AC[/tex], като ползваме координатите на [tex]A[/tex] и [tex]C[/tex].

Успех!

[mathgm]

Колкото и грамотно да съм написал задачите, повярвайте ми, тази аналитична геометрия ме мъчи много и трудно я схващам. Все пак успях нещо да науча от вашия алгоритъм, но ще съм Ви много благодарен, ако може да ми напишете решението от първата точка на алгоритъма, там където трябва да се състави уравнението за правата [tex]AB,[/tex] че това не мога да го схвана.

[Knowledge Greedy]

I. Правата съдържаща [tex]AB[/tex] минава през дадената точка [tex]A(3;2)[/tex] и има колинеарен вектор [tex](3;4)[/tex].

[tex]AB: \frac{y-2}{4 } =\frac{x-3}{ 3}[/tex]
__________________
Ако го запишем така [tex]4x-3y-6=0[/tex] - това е общо уравнение на правата [tex]AB[/tex].

За други цели ползваме други уравнения, всяко свързано с всяко от другите.
Ето, ако точката [tex]P(x;y)[/tex] е произволна точка от правата [tex]AB[/tex], то векторът [tex]\vec{AP}(x-3;y-2)[/tex] е колинеарен на [tex]AB[/tex], защото точката [tex]A(3;2)[/tex] е от тази права.

[tex]\vec{v}(3;4)[/tex] е също колинеарен на [tex]AB[/tex], значи [tex]\vec{AP}[/tex] и [tex]\vec{v}[/tex] са също колинеарни. Това означава, че съществува такова число [tex]t[/tex], че

[tex]\vec{AP} =t\vec{v}[/tex] - това уравнение наричаме векторно парамeтрично уравнение на правата [tex]AB[/tex].

Ако напишем това уравнение по координатно
[tex]\left|\begin{matrix}
x-3=3t\\
y-2=4t
\end{matrix}\right.[/tex]- това е скаларно параметрично задаване на правата [tex]AB[/tex]

Ако изключим параметъра [tex]t[/tex] така [tex]\frac{x-3}{3 }=t =\frac{y-2}{4 }[/tex], получаваме уравнението над чертата горе - уравнение на права през дадена точка и успоредна (колинеарна) на даден вектор.

Освен тях имаме отрезово [tex]\frac{x}{1,5}+\frac{y}{-2 }=1[/tex] и декартово [tex]y=\frac{4}{3}x-2[/tex] уравнение на права.

А ако са известни две точки от правата имаме уравнение на права през две точки.

[mathgm]

Не ми става ясно в самото начало - как определихме, че правата [tex]AB[/tex] има колинеарен вектор и също така кой е този колинеарен вектор и как определихме, че кординатите му са [tex](3;4)[/tex] ?

[Knowledge Greedy]

Не ми става ясно в самото начало - как определихме, че правата [tex]AB[/tex] има колинеарен вектор ...

Това е върхът - Ами всяка права си има безброй успоредни на нея вектори Наричат се още и колинеарни на правата

Не ми става ясно в самото начало - как определихме, че правата [tex]AB[/tex] има ... колинеарен вектор и ... кординатите му са [tex](3;4)[/tex] ?

Да разгледаме правата [tex]g:[/tex] [tex]3x + 4y + 18 = 0[/tex].

Това трябва да се знае. Да разгледаме вектора [tex]\vec{v}(3;4)[/tex]. Неговите координати са образувани от коефициентите пред [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] в уравнението на правата [tex]g[/tex]. Този вектор е успореден на правата [tex]g[/tex] . Нарича се още и колинеарен на правата [tex]g[/tex].

Като разменим числата [tex]3[/tex] и [tex]4[/tex], а пред едно от двете поставим минус, получаваме вектор [tex]\vec{n}(4;-3)[/tex], който е перпендикулярен на правата[tex]g[/tex].
Ще Ви се наложи да чувате и думичката нормален вектор - означава същото - перпендикулярен.
_________________________
Проверете сами - умножете скаларно [tex]\vec{v}\vec{n}[/tex].
Получава се
[tex]\vec{v}\vec{n}=3.4+4.(-3)=0[/tex]
За ненулеви вектори това означава, че [tex]cos\angle( \vec{v};\vec{n})=0[/tex]
т.е. [tex]\angle( \vec{v};\vec{n})=90^\circ[/tex].

[Knowledge Greedy]

Открихме, че правата [tex]AB[/tex] е с уравнение [tex]4x-3y-6=0[/tex]

По условие ъглополовящата [tex]l_b[/tex] през върха [tex]B[/tex] е с уравнение [tex]3x - y - 12 = 0[/tex].

И двете съдържат точката [tex]B[/tex].

Трябва да решим системата
[tex]\left|\begin{matrix}
4x-3y-6=0\\
3x - y - 12 = 0
\end{matrix}\right.[/tex]

[tex]\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\left|\begin{matrix}
4x-3y-6=0\\
y =3x-12
\end{matrix}\right.[/tex]

[tex]\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\left|\begin{matrix}
4x-3(3x-12)-6=0\\
y =3x-12
\end{matrix}\right.[/tex]

[tex]\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\left|\begin{matrix}
-5x=-30\\
y =3x-12
\end{matrix}\right.[/tex]

[tex]\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\left|\begin{matrix}
x=6\\
y =6
\end{matrix}\right.[/tex]

Следователно [tex]B(6;6)[/tex]

[Knowledge Greedy]

Открихме, че правата [tex]AB[/tex] е с уравнение [tex]4x-3y-6=0[/tex] - има нормален вектор [tex]\vec{n}(4;-3)[/tex]

По условие ъглополовящата [tex]l_b[/tex] през върха [tex]B[/tex] е с уравнение [tex]3x - y - 12 = 0[/tex] - има нормален вектор [tex]\vec{m}(3;-1)[/tex]

Ъгълът между тях [tex]\frac{\beta }{2 }[/tex] има [tex]cos{\frac{\beta }{2 }}[/tex], който ще намерим с помощта на скаларно произведение.
[tex]\vec{n}\vec{m}=4.3+(-3).(-1)=15[/tex]

[tex]|\vec{n}|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5[/tex]

[tex]|\vec{m}|=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}[/tex]

По дефиниция, знаем, че [tex]\vec{n}\vec{m}=|\vec{n}||\vec{m}|cos{\angle(\vec{n};\vec{m}) }[/tex]

Следователно [tex]cos{\frac{\beta }{2 }}=\frac{\vec{n}\vec{m}}{|\vec{n}||\vec{m}| }[/tex]

така [tex]cos{\frac{\beta }{2 }}=\frac{3\sqrt{10} }{10}[/tex]

Сега с координатите на върха [tex]B(6;6)[/tex], с помощта на уравнението на правата [tex]AB[/tex] и намерения ъгъл, ще напишем уравнението на правата [tex]BC[/tex] ( сключваща с [tex]AB[/tex] ъгъл [tex]\beta[/tex] )

[mathgm]

Първото, което написахте за намирането на кординатите на точка [tex]B[/tex] го разбрах, мисълта ми беше, че точка 3 и 4 от алгоритъма не са ми ясни. След като написахте решението на точка 3 за намиране на косинуса на ъгъла ми стана ясно как става. Но сега като имаме косинуса на този ъгъл как ще съставим уравнение за правата [tex]BC[/tex] ?

[Knowledge Greedy]

Ще Ви напиша решение, в което използваме декартово уравнение на права.
Общото уравнение на [tex]AB[/tex] е [tex]4x-3y-6=0[/tex], а декартово и уравнение е [tex]y=\frac{4}{3 }x-2[/tex]

Ако декартовото уравнение на правата [tex]BC[/tex] е [tex]y=kx+m[/tex] , тъй като точката [tex]B[/tex] е от нея, то за параметрите [tex]k[/tex] и [tex]m[/tex] ще е изпълнено равенството [tex]6k+m=6[/tex].

За да открием второ условие за тези параметри, да си помогнем с чертежа.

Вектори и прави.PNG (7.71 KiB) Прегледано 1960 пъти

[tex]cos{\frac{\beta }{2 }}=\frac{3\sqrt{10} }{10}[/tex][tex]\Rightarrow tg\beta=\frac{3}{4 }[/tex]

[tex]tg\alpha =\frac{4}{3 }[/tex]

[tex]tg\psi =k[/tex]

Но с формулата [tex]tg\psi=tg(\alpha+\beta)=\frac {tg {\alpha}+tg\beta}{1-tg\alpha.tg\beta }[/tex] не може да намерим намерим [tex]k[/tex], защото знаменателят се анулира.

Причината [tex]tg\alpha.tg\beta=1[/tex] ни казва, че тези два ъгъла се допълват до прав ъгъл, т.е. [tex]\alpha+\beta=90^\circ[/tex] . (т.е. [tex]\psi =90^\circ[/tex])
Оттук следва, че [tex]BC\bot Ox^{\rightarrow}[/tex] и [tex]y_C=6[/tex]

Следователно уравнението на [tex]BC[/tex] е [tex]x=6[/tex]

Нека довършим задачата.
V. С уравненията на правите [tex]BC[/tex] и [tex]h_C[/tex] образуваме система, чието решение са координатите на върха [tex]C.[/tex]

[tex]\left|\begin{matrix}
x=6\\
3x+4y+18=0
\end{matrix}\right.[/tex]

[tex]\left|\begin{matrix}
x_C=6\\
y_C=0
\end{matrix}\right.[/tex]

Следователно точката [tex]C[/tex] е от абсцисната ос.
[tex]C(6;0)[/tex]

VI. Уравнението на [tex]AC[/tex] - права през две точки.
Тъй като [tex]A(3;2)[/tex] уравнението и е

[tex]\frac{y-0}{2-0 } =\frac{x-6}{3-6 }[/tex]

Като го преобразуваме, стигаме до правата съдържаща последната страна на триъгълника.
Общото и уравнение е [tex]2x+3y-12=0[/tex]

[mathgm]

Благодаря Ви, помогнахте много!

Имате +1 репутация от мен.

[Knowledge Greedy]

И аз благодаря, mathgm .

Само да предупредя. Бъдете критичен в това, което чувате и четете. В говора допускаме страшно много грешки, но и бързо ги поправяме. Така е било поради по-голямата скорост на речта едно време. В писането обаче не е така. Допускаме по-малко грешки, но и остават по-дълго.
Защо споменавам? Защото от пръв поглед сега, отваряйки отговорите си до Вас, открих още една грешка - м.б. скрила се от мен в процеса copy-paste, неизбежен за по-бърза работа. Ето тук

...
Не ми става ясно в самото начало - как определихме, че правата [tex]AB[/tex] има ... колинеарен вектор и ... кординатите му са [tex](3;4)[/tex] ?

В отговора по-долу съм поправил грешката.
Да разгледаме правата [tex]g:[/tex] [tex]3x + 4y + 18 = 0[/tex].

Това трябва да се знае. Да разгледаме вектора [tex]\vec{v}(3;4)[/tex]. Неговите координати са образувани от коефициентите пред [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] в уравнението на правата [tex]g[/tex]. Този вектор е перпендикулярен на правата [tex]g[/tex] . Нарича се още и нормален вектор на правата [tex]g[/tex].

Като разменим числата [tex]3[/tex] и [tex]4[/tex], а пред едно от двете поставим минус, получаваме вектор [tex]\vec{n}(4;-3)[/tex], който е успореден на правата[tex]g[/tex].
Ще Ви се наложи да чувате и думичката колинеарен - означава същото - успореден.
_________________________

Надявам се, да не съм направил и на други места подобна досадна грешка.
_________________________
Ето Ви още един пример - по-нагледно.

Правата 3x-2y=0.PNG (6.22 KiB) Прегледано 1943 пъти

Червеният вектор е колинеарен на правата с уравнение [tex]3x-2y=0[/tex]. Забележете коефициентите! Координатите му са ([tex]2;3)[/tex].
А синият вектор е перпендикулярен на същата права. Неговите коефициенти са [tex](-3;2)[/tex].
Ако го бяхме начертали надолу-надясно, координатите му щяха да са [tex](3;-2)[/tex] и той отново щеше да е перпендикулярен на тази права! (Сравни с изречението по-горе, в което има една синя думичка минус.)Виж отново коефциентите. Всичко е лесно, нали?