Задача за прави в координатна система

[Гост]

Относно координатна система K в равнината са дадени точките A (1, -3), B (8, 0), C (4, 8) и D(-3, 5).
а) Да се провери дали A, B и C са колинеарни.
б) Да се докаже, че четириъгълникът ABCD е успоредник.
в) Да се намерят координатите на медицентъра G на ABC∆.

Много ще съм благодарен, ако някой реши тази задача подробно ! Мерси предварително.

[ptj]

a) понятието "колинеарност" е дефинирано за прави и вектори, но не и за точки.

б)[tex]\vec{AB}(8-1;0-3)=\vec{DC}(4-(-3);5-8)[/tex], т.е. четириъгълника [tex]ABCD[/tex] е успоредник.

в)Ако т.[tex]G[/tex] e медицентъра (център на тежестта) за четириъгълника [tex]ABCD[/tex],
то [tex]\vec{OG}=\frac{1}{4}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{OD})[/tex] е изпълнено за произволна точка [tex]О[/tex],
а когато тя е координатното начало координатите на векторите съвпадат с координатите на крайните им точки,

т.е. [tex]G\bigg(\frac{1+8+4-3}{4};\frac{-3+0+8+5}{4}\bigg)[/tex].

[Knowledge Greedy]

а) Да се провери дали A, B и C са колинеарни.
За колинеарност на точки говорим, когато те са на една права. Свежда се до колинеарност на вектори.
[tex]A (1, -3) и \,\ B (8, 0) \,\ \Rightarrow \,\ \vec{AB}(7;3)[/tex]

[tex]A (1, -3) и \,\ C (4, 8) \,\ \Rightarrow \,\ \vec{AC}(3;11)[/tex]
Сега проверяваме съществува ли такова реално число [tex]\lambda[/tex],
[tex]\lambda \ne 0[/tex] и [tex]\vec{AC}=\lambda \vec{AB}[/tex]
Оказва се, че няма такова число [tex]\lambda[/tex] няма. Значи трите точки [tex]A, B[/tex] и [tex]C[/tex] не са на една права.
Има и други по-непосредствени начини за установяване на този факт. Например с една детерминанта.
Ако [tex]\begin{vmatrix}
1& -3 & 1 \\
8 & 0 & 1 \\
4 & 8 & 1
\end{vmatrix}=0[/tex], точките за които говорим са на една права.

[Гост]

Мерси за отговорите, само искам да попитам как разбираме ,че не съществува такова реално число [tex]\lambda[/tex]

[Гост]

И също така , ако 2 вектора или прави са успоредни , те не са ли колинеарни ?

[ptj]

Да се пита за колинеарността на точките [tex]A,B,C[/tex] при положение, че в следващото условие се иска да се докаже, че [tex]ABCD[/tex] е успоредник е меко казано глупаво.

[Knowledge Greedy]

Ако последователността на въпросите е б-а-в или б-в-а, съм съгласен. Но въпросите са в поредица а-б-в.

[Knowledge Greedy]

И също така , ако 2 вектора или прави са успоредни , те не са ли колинеарни ?

За правите съм съгласен, така е. А за векторите зависи от дефиницията. Физиците имат три вида вектори и приемат това. За математиците векторът е нещо като дух. Навсякъде. Той има свои представители, които могат да се идентифицират върху всички успоредни помежду си прави (всяка една от които наричаме директриса на вектора). Големината пък дава възможност да говорим за равни насочени отсечки, представители на един вектор. В крайна сметка можем да говорим и за вектор, колинеарен на права. Също така и за колинеарни вектори - такива, които са колинеарни на една и съща права.

[kocaka]

И също така , ако 2 вектора или прави са успоредни , те не са ли колинеарни ?

За правите съм съгласен, така е. А за векторите зависи от дефиницията. Физиците имат три вида вектори и приемат това. За математиците векторът е нещо като дух. Навсякъде. Той има свои представители, които могат да се идентифицират върху всички успоредни помежду си прави (всяка една от които наричаме директриса на вектора). Големината пък дава възможност да говорим за равни насочени отсечки, представители на един вектор. В крайна сметка можем да говорим и за вектор, колинеарен на права. Също така и за колинеарни вектори - такива, които са колинеарни на една и съща права.

[Гост]

Искам да попитам понеже имам същата задача как разбираме, че ламбда не съществува ? Защо в детерминантата пишем 3 стълб от единици?