Спешно! ДКС

[Mimu]

В пространството е зададена ДКС и спрямо нея са дадени точките А ( 2, 0, 4 ), В ( - 1, - 6, 1 ) и С ( - 4, 2, 8 ). Да се докаже, че точките А, B, C не лежат на една права и да се намери лицето на триъгълника АВС.

[Knowledge Greedy]

[tex]А ( 2, 0, 4 ), В ( - 1, - 6, 1 )[/tex]
[tex]\vec {AB} ( -3, - 6, -3 )[/tex]

А [tex]( 2, 0, 4 ), С ( - 4, 2, 8 )[/tex]
[tex]\vec {AC} ( -6, 2, 4 )[/tex]
Ако допуснем, че [tex]А ( 2, 0, 4 ), В ( - 1, - 6, 1 ), С ( - 4, 2, 8 )[/tex] са на една права, то съществува реално число [tex]\lambda[/tex], [tex]\lambda\ne 0[/tex] и [tex]\vec {AC}=\lambda \vec {AB}[/tex] - но това ще доведе до противоречие между скаларните параметрични уравнения.
______________
Друг подход е да пресметнем детерминантата [tex]det M[/tex] на матрицата [tex]M=\begin{pmatrix}
2 & 0 & 4\\
1 & -6 & 1\\
-4 & 2 & 8\\
\end{pmatrix}[/tex]
Ако [tex]det M=0[/tex] - точките [tex]А ( 2, 0, 4 ), В ( - 1, - 6, 1 ) , С ( - 4, 2, 8 )[/tex] са на една права.
Ако [tex]det M \ne0[/tex] - точките [tex]А ( 2, 0, 4 ), В ( - 1, - 6, 1 ) , С ( - 4, 2, 8 )[/tex] не са на една права.
Конкретно [tex]det M =\begin{vmatrix}
2 & 0 & 4\\
-1 & -6 & 1\\
-4 & 2 & 8
\end{vmatrix}=-204\ne 0 \,\ \Rightarrow[/tex] точките не са на една права.
_____________
По втория въпрос - за лицето намираме половината от модула на векторното произведение
на [tex]\vec {AB} ( -3, - 6, -3 )[/tex] и [tex]\vec {AC} ( -6, 2, 4 )[/tex]
[tex]\vec {AB} \times \vec {AC} \left ( \begin{vmatrix}
-6 & 1\\
2 & 8
\end{vmatrix}; - \begin{vmatrix}
-1 & 1\\
-4 & 8
\end{vmatrix}; \begin{vmatrix}
-1 & -6\\
-4 & 2
\end{vmatrix} \right )[/tex]

[Mimu]

Другата под точка е:

Да се намерят дължините на страните и ъглите на триъгълника АВС

П.С. Благодаря за решението

[Knowledge Greedy]

[tex]А ( 2, 0, 4 ), В ( - 1, - 6, 1 ) \,\ \Rightarrow |AB|= \sqrt{(-1-2)^2+(-6-0)^2+(1-4)^2}=\sqrt{54}=3\sqrt{6}[/tex]

[tex]В ( - 1, - 6, 1 ), С ( - 4, 2, 8 ) \,\ \Rightarrow |BC|= \sqrt{(-4+1)^2+(2+6)^2+(8-1)^2}=\sqrt{122}[/tex]

[tex]А ( 2, 0, 4 ), С ( - 4, 2, 8 ) \,\ \Rightarrow |AC|= \sqrt{(-4-2)^2+(2-0)^2+(8-4)^2}=\sqrt{56}[/tex]

За да намерим ъглите, се нуждаем и от скаларните произведения.
[tex]\vec{AB}(-3, -6, -3)[/tex]
[tex]\vec{AC}(-6, 2, 4) \,\ \Rightarrow \,\ \vec{AB}\vec{AC}=-3.(-6)+(-6).2+(-3).4=-42[/tex]

Следователно [tex]cos \alpha =\frac{-42}{\sqrt{54}\sqrt{56}}=-\frac{\sqrt{21}}{6}[/tex]
Аналогично намираме [tex]cos\beta[/tex] и [tex]cos\gamma[/tex].

[Mimu]

Много ти благодаря за помощта!