Задача: уравнение на равнина в пространството.

[Гост]

Дадени са точките A(1, 2, –2), B(2, 3, 1), C(0, 1, 3). Намерете:
а) уравнението на равнината през точка A, перпендикулярна на правата BC;
б) уравнението на равнината през точките A, B и C.

Подусловие б) го реших като намерих координатите на векторите АВ и ВС (проверих дали са колинеарни и не са), и заедно с точка А съставих детерминантно уравнение. Накрая ми се получи уравнението [tex]\alpha[/tex]: 8x - 8y + 8 = 0

На подусловие а) взимам отново точка А, намирам уравнението на правата ВС, от което взимам нормалния вектор, но не се сещам другият вектор от къде трябва да взема. Та моля за помощ на подусловие а).

[Knowledge Greedy]

Буква б) e правилно намерена.
За буква а) нека [tex]P(x;y;z)[/tex] е произволна точка от равнината [tex]\bot BC[/tex]
Следователно [tex]\vec{AP}(x-1;y-2;z+2)[/tex] е от същата равнина и скаларното му произведение с [tex]\vec{BC}[/tex] е нула.
Умножаваме скаларно, съкращаваме малко и получаваме уравнение [tex]x+y-z-5=0[/tex] за въпросната равнина.

[Гост]

Честно казано, както си я решил, не я разбирам. За какво ни е скаларното произведение ?

[Гост]

Скаларното произведение на вектори е нула, когато са перпендикулярни. Искаш да построиш (напишеш уравнение на) равнина, перпендикулярна на дадена права [tex]BC[/tex] (вектор [tex]\vec{BC}[/tex]) ,значи като умножиш скаларно вектор от равнината по [tex]\vec{BC}[/tex], ще получиш нула.
Прочети си някъде това, в кой курс си, не ставай за смях.

[Гост]

Ясно ми е, че скаларното произведение на 2 ортогонални вектора е 0, просто не виждам връзката. Но, както и да е, реших задачата по друг начин и получих уравнението [tex]\alpha[/tex]: - 2x - 2y + 2z + 10 = 0, което е същото като отговора, който е дал колегата. Реших задачата, след като вектор ВС се явява същият, като нормалния вектор на равнината \alpha и заедно с точка А намерих уравнението.

[Гост]

А сега се затруднявам на друга задача:
Дадени са точките A(1, 2, 0), B(–3, 1, 2), правата p:[tex]\frac{x}{2}[/tex]=[tex]\frac{y-1}{1}[/tex]=[tex]\frac{z+1}{2}[/tex] и равнината α: x – 3 y – 3z + 2 = 0. Да се намерят:
а) уравнението на равнината през точка A, успоредна на α;
б) уравнението на равнината през точки A и B, перпендикулярна на α;
в) уравнението на равнината през точка A, минаваща през правата p.

Подусловие а) и б) ги реших и получих:
а)[tex]\beta[/tex]: x - 3y - 3z + 5 = 0
б) [tex]\gamma[/tex]: 9x - 10y - 11z + 11 = 0

Но за в) подусловие си нямам на идея как става, тъй като минаващата права не е казано дали е успоредна, или е перпендикулярна ? Някакви идеи?

[Гост]

[tex]\lim_{x \to 0}(1-cos(X))/sin^2x[/tex]