Симетрична точка

[Гост]

Да се намери симетричната точка N на точката M (1,1) спрямо правата l : 2x + 4y+3 =0. Да се намерят общите уравнения на ъглополовящите g1 и g2 на правите l и MN.

Идват ми малко в повече задачите и зациклих тотално. Моля ви, помагайте....
Трябва ми малко по подробно.

[Knowledge Greedy]

Има различни начини.
Правата [tex]m[/tex] през точката [tex]M(1;1)[/tex] и [tex]m\bot l[/tex] съдържа търсената симетрична точка [tex]N[/tex].
[tex]m: 4x-2y+c=0[/tex] [tex]^*[/tex]
[tex]4.1-2.1+c=0 \,\ \Rightarrow c=-2[/tex]
[tex]m:4x-2y-2=0[/tex]

Ето защо първо намираме пресечната точка на двете прави.
[tex]\begin{array}{|l} 2x + 4y +3= 0 \\ 2x - y -1= 0 \end{array} \,\ \Leftrightarrow \,\ \begin{array}{|l} x =\frac{1}{10} \\ y = -\frac{4}{5} \end{array}[/tex]
[tex]P \left (\frac{1}{10} ;-\frac{5}{4} \right )[/tex]
Написваме координатите на вектора [tex]\vec{MP}[/tex]
След това удвояваме координатите на вектора [tex]\vec{MP} \left (-\frac{9}{10} ;-\frac{9}{4} \right )[/tex]
и получаваме координатите на симетричната точка [tex]N\left (-\frac{9}{5} ;-\frac{9}{2} \right )[/tex]
_________
Друг начин.
Разстоянието [tex]d(M,l)=\frac{2.1+4.1+3}{\sqrt{2^2+4^2}}=\frac{9\sqrt{5}}{10}[/tex]

N симетрична на M относно права.png (9 KiB) Прегледано 3931 пъти

Уравнението на окръжността с център [tex]M(1;1)[/tex] и радиус [tex]R=\frac{9\sqrt{5}}{10}[/tex]
[tex](x-1)^2+(y-1)^2=\left (\frac{9\sqrt{5}}{10} \right )^2[/tex] заедно с уравнението на правата [tex]l[/tex] ни дават система [tex]\begin{array}{|l} 2x + 4y +3 = 0 \\ (x-1)^2+(y-1)^2=\frac{81}{20} \,\ , \end{array}[/tex]
от която получаваме петата [tex]P[/tex] на перпендикуляра от [tex]M(1;1)[/tex] към правата [tex]l[/tex].
Който избира този начин, неминуемо ще се затрудни с решаването на системата.
Но то е просто. Трябва да сме наясно, че търсим само едно решение - координатите на допирната точка. Така подчертавам, че правата е допирателна на окръжността, а окръжност [tex](x-a)^2+(y-b)^2=R^2[/tex] има допирателна [tex](x_p-a)(x-a)+(y_p-b)(y-b)=R^2[/tex] в своята точка [tex]P(x_p; y_p)[/tex].
Значи коефициентите на дадената права и допирателната съвпадат с точност до множител (пропорционални са).
Бързо се получава [tex]P \left (\frac{1}{10} ;-\frac{5}{4} \right )[/tex]
За да намерим [tex]N[/tex] съобразяваме, че
[tex]\begin{array}{|l} x_p = \frac{x_M+x_N} {2} \\ y_p = \frac{y_M+y_N} {2} \end{array}[/tex]
Следователно
[tex]\begin{array}{|l} x_N =2x_p-x_M=-\frac{9}{5} \\ y_N =2x_p-y_M=-\frac{9}{2} \end{array}[/tex]
________
Последният начин отвращава университетските преподаватели, но децата често го избират без да могат да довършат задачата и биват наказвани.
________
[tex]^*[/tex] Уравнението на правата директно се получава чрез скаларното произведение [tex]\left \langle 4;-2 \right \rangle \left \langle x-1;y-1 \right \rangle =4(x-1)-2(y-1)[/tex]
на перпендикулярни вектори [tex]4(x-1)-2(y-1)=0[/tex]
=============
По втория въпрос. Да се намерят общите уравнения на ъглополовящите g1 и g2, на ъглите определени от правите l и MN.
Разглеждаме нормалните на двете прави вектори.
[tex]\vec{n}(2;4)[/tex] и [tex]\vec{m}(4;-2)[/tex]
Нека векторът [tex]\vec{v}(p;q)[/tex] сключва равни ъгли с всеки от тях (Значи е колинеарен на една от ъглополовящите на ъглите, определени от двете прави).
Тогава скаларните произведения са равни [tex]\vec{n}\vec{v}=\vec{v}\vec{m}[/tex]
То е равносилно на [tex]2p+4q=4p-2q \,\ \Leftrightarrow \,\ p=3q[/tex]
Остава да напишем уравненията на правите през дадената [tex]M(1;1)[/tex], нормални - едната на [tex]\vec{v_1}(3;1)[/tex], а другата на [tex]\vec{v_2}(1;-3)[/tex]

[Гост]

Ти си истинско злато!