Уравнение на права

[SilentHunter]

Здравейте. В момента се подготвям по ВМ-1 част, реших доста задачи, но ударих на камък с тази.
Имам няколко успешни опита с базовите задачи от този тип, но конкретно с този пример видях голям зор.
Някой ще може ли да съдейства ?
Задачата е 9-та.

Благодаря предварително.

[img]

zadacha.png

[/img]

[Knowledge Greedy]

От уравненията на правата правим следните изводи:
- точката [tex]L(1,2,1)[/tex] е от тази права.
- векторът [tex]\vec{l}(4,3,-6)[/tex] e колинеарен на тази права.

а) Да означим с [tex]N[/tex] петата на перпендикуляра от дадената точка [tex]A(3,-3,10)[/tex] върху дадената права.
Нека [tex]N(p,q,r)[/tex].
Разглеждаме вектора [tex]\vec{LN}(p-1,q-2,r-1)[/tex], колинеарен на правата.
[tex]\vec{LN}(p-1,q-2,r-1)\parallel \vec{l}(4,3,-6) \,\ \Rightarrow \,\ \exists \lambda: \vec{LN}=\lambda \vec{l}[/tex].
Скаларно
[tex]\begin{array}{|l} p-1= 4\lambda \\ q-2 = 3\lambda \\ r-1 = -6\lambda \end{array}[/tex]
откъдето изразяваме координатите на точката [tex]N[/tex] параметрично.
[tex]\begin{array}{|l} p=1+ 4\lambda \\ q=2+3\lambda \\ r=1-6\lambda \end{array} \,\ (1)[/tex]
Да разгледаме вектора [tex]\vec{AN}(p-3,q+3,r-10)[/tex], перпендикулярен на правата.
Това означава, че [tex]\vec{AN}\bot \vec{l}[/tex] и, че скаларното произведение [tex]\vec{AN}. \vec{l}=0[/tex]
Скаларно
[tex]4(p-3)+3(q+3)-6(r-10)=0[/tex]
В тази зависимост поставяме параметричните значения на [tex]p,q,r[/tex] от [tex](1)[/tex] и намираме параметъра [tex]\lambda[/tex].
[tex]\lambda =-1[/tex]
Това означава, че [tex]\begin{array}{|l} p=-3 \\ q=-1 \\ r= 7 \end{array}[/tex]
и
[tex]N(-3,-1,7)[/tex] - открихме проекцията на [tex]A[/tex] върху дадената права.

б) Да означим с [tex]A'(a,b,c)[/tex] симетричната точка на точката [tex]A(3,-3,10)[/tex] относно дадената права.
Очевидно
[tex]\begin{array}{|l} \frac{a+3}{2} = -3 \\ \frac{b-3}{2} = -1 \\ \frac{c+10}{2}= 7 \end{array}[/tex] - по простата причина, че точката [tex]N[/tex] се явява среда на отсечката [tex]AA'[/tex]
Решаваме системата и [tex]A'(-9,1,4)[/tex]

в) Използваме формулата за разстояние между две точки - [tex]A[/tex] и [tex]N[/tex] чрез техните координати.
Получава се [tex]\left |AN \right |=\sqrt{(x_A-x_N)^2+(y_A-y_N)^2+(z_A-z_N)^2}=7[/tex]