Височина в тетраедър

[Гост]

Тетраедър ABCD със следните вектори:
[tex]\vec{a}[/tex] = [tex]\vec{DA}[/tex] = 2
[tex]\vec{b}[/tex] = [tex]\vec{DB}[/tex] = 2
[tex]\vec{c}[/tex] = [tex]\vec{DC}[/tex] = 1
Трите вектора са два по два перпендикулярни.
DH е височината на тетраедъра. Как може да се изрази чрез горните вектори?
Благодаря предварително

[Knowledge Greedy]

Навярно питащият има предвид дължините на векторите
[tex]|\vec{DA}|=2[/tex]
[tex]|\vec{DB}|=2[/tex]
[tex]|\vec{DC}|=1[/tex]
и как векторът по височината [tex]\vec{DH}[/tex]
да се изрази чрез векторите
[tex]\vec{DA}=\vec{a}[/tex]
[tex]\vec{DB}=\vec{b}[/tex]
[tex]\vec{DC}=\vec{c}[/tex]
Защото, ако въпросът е за дължината на височината - всеки 12-класник би трябвало да изрази обема на тетраедъра [tex]ABCD[/tex] по два начина
[tex]V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle BCD}.AD=\frac{2}{3}[/tex]
и
[tex]V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}.DH=\frac{2}{3}[/tex]
А поради [tex]S_{\triangle ABC}=2[/tex] (- примерно с теоремата на Фаулхабер, или с Херонова формула, или с теоремата за лицето на проекцията), за дължината на височината получаваме [tex]DH=1[/tex].
Що се отнася до вектора [tex]\vec{DH}[/tex], то ...
[tex]\vec{DH}=\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}[/tex]
( ... поради взаимната перпендикулярност на дадените вектори [tex]\vec{a}\vec{b}=0, \vec{b}\vec{c}=0, \vec{c}\vec{a}=0[/tex] и [tex]\vec{DH}=\frac{1}{3}\vec{n}[/tex], където [tex]\vec{n}\bot (ABC)[/tex] и [tex]\vec{n}(2,2,1)[/tex]).