Уравнения на страни на триъгълник според точка и две прави

[mdh]

Здравейте, колеги,

Имам една интересна задачка, която ме измъчва, защото не мога да намеря начин, по който да я реша. Ето я и нея:

Да се намерят уравненията на страните на триъгълник ABC, ако един негов връх е точката A(-4, -5), а правите [tex]h_{1 }: 5x + 3y - 4 = 0[/tex] и [tex]h_{2 }: 3x + 8y + 13 = 0[/tex] са две височини в триъгълника.

Не знам дали вървя по правилния път, но намерих уравнението на AC - според условието за перпендикулярност [tex]k_{1 }.k_{2 } = -1[/tex], Където [tex]k_{1 }[/tex] и [tex]k_{2 }[/tex] са ъглови коефициенти. Ако задам [tex]h_{1 }[/tex] да е от върха A Към страната BC (тоест това да е правата BK), а [tex]h_{2 }[/tex] да е от върха B към страната AC (а това да е правата AH ), то тогава [tex]k_{AC } = -\frac{1}{k_{BK }}[/tex]. За [tex]k_{BK }[/tex] взимам 5 и 3 от уравнението за [tex]h_{1 }[/tex]. Тогава [tex]k_{AC } = - \frac{1}{-\frac{5}{3}} = \frac{3}{5}[/tex]. Тогава за правата [tex]AC: y - y_{0} = k(x - x_{0}) \Rightarrow AC: y + 5 = \frac{3}{5}(x + 4) \Rightarrow AC: 5y - 3x + 13 = 0[/tex].

И толкова, не знам как да я продължа, а дори и не знам дали вървя по правилния път... Ще съм благодарна, ако някой може да ми помогне.

[mdh]

Осъзнах, че май не вървя по правилен път - сега проверих дали точката А лежи на една от правите, но понеже се оказва, че не лежи на нито една от двете, от там следва, че височините са от върха B и C. И все пак, не знам как да продължа..

[Гост]

Виж задача 3

http://arsmath.org/NVUMathLectures/JORG ... -plane.htm

[mdh]

Точно от там гледах и по този начин намерих уравнението на страната AC, но се оказва, че всъщност не става така, защото нито една от височините не минава през точката А. Затова не знам как трябва да се реши..

[ptj]

Не разбрах имаш ли познания по АГ или не.
Затова ти давам следващите два линка- препоръчвам ти да ги разгледаш внимателно.
в равнината:
http://pharmfac.net/social_pharm_lectures/HM_13/CH_04_LINE.pdf
в пространството:

http://web.uni-plovdiv.bg/marta/tema-16.pdf

Обърни внимание (1-вия линк):
1.)Как от общо уравнение на права могат да се определят координатите на направляващ вектор (т.2).
2.)Какво е нормален вектор и каква е връзката му с направляващия.
3.)Уравнение права през точка и даден нормален вектор.

[mdh]

Благодаря и за двата линка, но и двата на няколко пъти съм ги отваряла, за да се опитам да разбера повече. Задочно обучение съм, в гимназията математиката ми куцаше (не е оправдание, знам), а сега нямам почти никакви примерни задачи, които да са решени и да се водя по тях. Затова сама се ровя из интернет и намирам такива лекции, чета, но... положението не е много добро. Ще опитвам още, защото изпитът ми е скоро..

[ptj]

Първия линк е много добър, защото е компактен и разбираем.
По-принцип трябва да знаеш почти цялата информация от него, за да можеш в задачите да минаваш от един към друг тип формули.

Например твоята задача:
Да се намерят уравненията на страните на [tex]\triangle ABC[/tex], ако един негов връх е точката [tex]A(-4, -5)[/tex], а правите[tex]h_1:5x+3y−4=0[/tex] и [tex]h_2:3x+8y+13=0[/tex] са две височини в триъгълника.

Дадени са ти уравнения на височините - след като точката [tex]А(4;5)[/tex]не лежи на нито една от тях, то може веднага да напишеш уравненията на страните кък които са спуснати съответните височини.

Може да го направиш например уравнение на права през точка и направляващ вектор (канонично).
Само съответния направляващ вектор ще е нормален(перпендикулярен) за съответната височина:

[tex]g_1:\frac{x-(-4)}{5}=\frac{y-(-5)}{3}[/tex]

[tex]g_2:\frac{x-(-4)}{3}=\frac{y-(-5)}{8}[/tex]


Трябва да можеш да минаваш без проблем от един вид уравнение към друго.
Например за [tex]h_1[/tex] веднага да кажеш, че направляващия вектор е (3;-5), а нормалния (5;3), т.е. да запишеш каноничното уравнение на [tex]g_1[/tex] .

Другите два върха се получават при пресичане на височина и страна, т.е. [tex]g_1\cap h_2[/tex] и [tex]g_2\cap h_1[/tex].

[ptj]

...
Дадени са ти уравнения на височините - след като точката [tex]А(4;5)[/tex] не лежи на нито една от тях...

Правилно е :

Дадени са ти уравнения на височините - след като точката [tex]А(-4;-5)[/tex] не лежи на нито една от тях...