триъгълник [tex]\triangle[/tex]

[Гост]

В [tex]\triangle[/tex]АВС ВD е височина, а ВЕ-медиана. Ако [tex]\angle[/tex]АВЕ=[tex]\angle[/tex]DВС и [tex]\angle[/tex]DВЕ =24, да се намери [tex]\angle[/tex]А.

[Davids]

Triangle.png (21.32 KiB) Прегледано 260 пъти

Означенията са по чертежа. Изразяваме $\angle A = 66 - x$ и $\angle C = 90 - x$. Правим две синусови теореми респективно за $\triangle ABE$ и $\triangle EBC$:
[tex]\begin{array}{|l} \frac{m}{sinx} = \frac{n}{sin(66 - x)} \\ \frac{m}{sin(24 + x)} = \frac{n}{sin(90 - x)} \end{array}[/tex]
$\Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{sinx}{cos(24 + x)} = \frac{sin(24 + x)}{cosx}$
$sinxcosx = sin(24 + x)cos(24 + x) |.2$
$sin2x = sin(48 + 2x)$

Имаме два случая при равни синуси: равни аргументи или единият аргумент да е равен на 180 минус другия.

I) сл.: $2x = 48 + 2x$ няма решение;
II)сл.: $2x = 180 - (48 + 2x)$
$4x = 132$
$x = 33^{\circ}$

$\Rightarrow \boxed{\angle A = 33^{\circ}}$