Сфера е вписана в пирамида с основа квадрат

[Гост]

Сфера е вписана в пирамида с основа квадрат и отношение на височината към основния ръб, равно на [tex]\frac{\sqrt{15}}{2}[/tex]. В сферата е вписан куб. Нека отношението на обема на пирамидата към обема на куба е [tex]k[/tex]. Какво е уравнението на правата, която сключва с отрицателната посока на абсцисната ос ъгъл [tex]arctg(k^{2})[/tex] и минава през точката с координати [tex](s,p)[/tex], ако [tex]s[/tex] е стойността на израза [tex]r^{10}+2r^{8}-r^{7}-3r^{6}-3r^{5}+4r^{4}+2r^{3}-4r^{2}-6r-17[/tex], където [tex]r[/tex] е решение на уравнението [tex]x^{3}-x-1=0[/tex], а [tex]p[/tex] е броят на положителните решения на уравнението [tex]x^{10}+7x^{9}+14x^{8}+1729x^{7}-1379x^{6}=0[/tex] ?

[Гост]

[tex]r^3-r-1=0 \,|(\times r^7)\Rightarrow r^{10}=r^8+r^7\Rightarrow s=3r^8-3r^6-3r^5+4r^4+2r^3-4r^2-6r-17,3r^8-3r^6-3r^5=3r^5(r^3-r-1)=0\Rightarrow s=4r^4+2r^3-4r^2-6r-17, 4r^4-4r^2-4r=4r(r^3-r^2-1)=0\Rightarrow s=2r^3-2r-17,2r^3-2r-2=2r(r^3-r-1)=0\Rightarrow \boxed{s=-15}[/tex]

[Гост]

Сфера е вписана в пирамида с основа квадрат и отношение на височината към основния ръб, равно на [tex]\frac{\sqrt{15}}{2}[/tex]. В сферата е вписан куб. Нека отношението на обема на пирамидата към обема на куба е [tex]k[/tex]. Какво е уравнението на правата, която сключва с отрицателната посока на абсцисната ос ъгъл [tex]arctg(k^{2})[/tex] и минава през точката с координати [tex](s,p)[/tex], ако [tex]s[/tex] е стойността на израза [tex]r^{10}+2r^{8}-r^{7}-3r^{6}-3r^{5}+4r^{4}+2r^{3}-4r^{2}-6r-17[/tex], където [tex]r[/tex] е решение на уравнението [tex]x^{3}-x-1=0[/tex], а [tex]p[/tex] е броят на положителните решения на уравнението [tex]x^{10}+7x^{9}+14x^{8}+1729x^{7}-1379x^{6}=0[/tex] ?

[tex]x^{10}+7x^{9}+14x^{8}+1729x^{7}-1379x^{6}=0 \,|÷x^{6}\ne 0 \Rightarrow x^{4}+7x^{3}+14x^{2}+1729x-1379=0[/tex]
[tex]f(x)=x^{4}+7x^{3}+14x^{2}+1729x-1379[/tex]
[tex]f'(x)=4x^{3}+21x^{2}+28x+1729\Rightarrow f'(x)>0 \,\forall x\in \mathbb{R}^{+}\Rightarrow \lim_{x>0 \to +\infty}f(x)=+\infty[/tex]
[tex]f(0)<0\Rightarrow \exists! \,x_{0 }:f(x_{0 })=0\Rightarrow \boxed{p=1}[/tex]

[Гост]

Сфера е вписана в пирамида с основа квадрат и отношение на височината към основния ръб, равно на [tex]\frac{\sqrt{15}}{2}[/tex]. В сферата е вписан куб. Нека отношението на обема на пирамидата към обема на куба е [tex]k[/tex]. Какво е уравнението на правата, която сключва с отрицателната посока на абсцисната ос ъгъл [tex]arctg(k^{2})[/tex] и минава през точката с координати [tex](s,p)[/tex], ако [tex]s[/tex] е стойността на израза [tex]r^{10}+2r^{8}-r^{7}-3r^{6}-3r^{5}+4r^{4}+2r^{3}-4r^{2}-6r-17[/tex], където [tex]r[/tex] е решение на уравнението [tex]x^{3}-x-1=0[/tex], а [tex]p[/tex] е броят на положителните решения на уравнението [tex]x^{10}+7x^{9}+14x^{8}+1729x^{7}-1379x^{6}=0[/tex] ?

[tex]l:y-p=m(x-s), m=\tan(\pi-\arctan k^{2})=-k^{2}\Rightarrow l:y-1=k^2(x+15)[/tex]

[Гост]

[tex]*l:y-1=-k^{2}(x+15)[/tex]

[KOPMOPAH]

$$s=r^{10}+2r^{8}-r^{7}-3r^{6}-3r^{5}+4r^{4}+2r^{3}-4r^{2}-6r-17=$$ $$=\underbrace{r^{10}-r^{8}-r^{7}}_{r^7(x^{3}-x-1)=0}+\underbrace{3r^{8}-3r^{6}-3r^{5}}_{3r^5(x^{3}-x-1)=0}+\underbrace{4r^{4}-4r^{2}-4r}_{4r(x^{3}-x-1)=0}+\underbrace{2r^{3}-2r-2}_{2(x^{3}-x-1)=0}-15=-15$$

Скрит текст: покажи

:D защото [tex]r[/tex] е решение на уравнението [tex]x^{3}-x-1=0[/tex]

[Гост]

Вчера срещам Жужи Врабеца и му викам, че ме притеснява тая задача, а той, след като помисли малко, ми вика: "Пирамидата най-вероятно е изправена, щото не във всяка наклонена може да се впише сфера. Височината минава през центъра на основата, центърът на сферата лежи на височината и съвпада с центъра на куба. Кубът е определен еднозначно до ротации около центъра-ориентирай го така, че основите му да са успоредни на основата на пирамидата. После взимаш осно сечение с равнина, минаваща през средите на две успоредни страни на основата-получава се равнобедрен триъгълник с вписана окръжност, в която е вписан квaдрат, и оттам е ясно". Щях да го питам за още съвети, но бързаше, защото пуснали кренвирши на промоция.

[Гост]

hghgg.PNG (15.92 KiB) Прегледано 1269 пъти

По упътването на Жужи:
[tex]h=\frac{\sqrt{15}}{2}e;m^{2}=h^{2}+\frac{e^{2}}{4}\Rightarrow m=2e[/tex]

[tex]pr=\frac{1}{2}e\cdot 2e\cdot \sin\alpha\Rightarrow r=h/5[/tex]
Диагоналът на куба е диаметър на сферата [tex]\Rightarrow 2r=\sqrt{3}c\Rightarrow c=\frac{2\sqrt{3}}{15}h[/tex]
[tex]V_P=\frac{1}{3}\cdot \frac{4h^{3}}{15},V_C=c^{3}\Rightarrow V_P:V_C=\frac{25\sqrt{3}}{6}=k\Rightarrow k^{2}=\frac{625}{12}[/tex]

[Гост]

$$\boxed{l:y-1=-\frac{625}{12}(x+15)}$$