Може ли да се докаже?

[Гост]

Дадени са четири две по две външнодопиращи се окръжности с различни радиуси. Лежат ли допирните им точки на една окръжност?

[ptj]

Лежат, зашото 4-те вътрешни ъглополовящи на ъглите на четириъгълника, образуван от центровете им, се пресичат в една точка.
Тогава растоянието от нея до допирните точки между окръжностите е еднакво, а самия четиръгълник се явява описан около окръжността минаваща през тях.

[S.B.]

Без заглавие (51).png (325.73 KiB) Прегледано 765 пъти

Дадени са четири две по две външнодопиращи се окръжности с различни радиуси. Лежат ли допирните им точки на една окръжност?

Допирните точки на окръжностите са [tex]K,L,M[/tex] и $N$.За да лежат на една окръжност ще трябва четириъгълникът,който те образуват да е вписан в тази окръжност,а необходимото и достатъчно условие за това е сборът от срещуположните му ъгли да бъде равен на $180^\circ$. На чертежа виждате (без да претeндирам за голяма точност!),че това не винаги е така.Може би за конкретна задача ще се получи.Трябва да докажете,че $\angle KNM + \angle KLM = 180^\circ$ или,че $\angle NML + \angle NKL = 180^\circ$

[ptj]

[tex]\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ[/tex]

[tex](180^\circ-(90^\circ-\frac{\alpha}{2})-(90^\circ-\frac{\beta}{2}))+(180^\circ-(90^\circ-\frac{\gamma}{2})-(90^\circ-\frac{\delta}{2}))=\frac{1}{2}(\alpha+\beta+\gamma+\delta)=180^\circ[/tex]

Това достатъчно ли е?

[S.B.]

Лежат, зашото 4-те вътрешни ъглополовящи на ъглите на четириъгълника, образуван от центровете им, се пресичат в една точка.
Тогава растоянието от нея до допирните точки между окръжностите е еднакво, а самия четиръгълник се явява описан около окръжността минаваща през тях.

Това се нуждае от доказателство.

[S.B.]

Без заглавие (58).png (307.94 KiB) Прегледано 714 пъти

Доказателство:
Разглеждам четириъгълника [tex]O_{4 }POS[/tex],
$O_{4 }O$ е ъглополовяща, $\Rightarrow OP = OS,O_{4 }P = O_{4 }S$ , $O_{4 }N = O_{4 }K$ като радиуси на окръжността $k_{4 }$,
$\Rightarrow NP = SK \Rightarrow \triangle NOP \cong \triangle SOK \Rightarrow ON = OK$
От чeтириъгълника $ O_{2 }ROQ$ аналогично се получава,че $OM = OL$
От четириъгълника $O_{3 }NOM$ се получава ,че $ON = OM$
Получи се: $ON = OK ,ON = OM, OM = OL \Rightarrow ON = OM = OK = OL\Rightarrow $ точкоте $M,N,K,L$ лежат на окръжност с център $O$ ,който съвпада с центъра на вписаната в $O_{1 }O_{2 }O_{3 }O_{4 }$ окръжност и с радиус
$r = OM=ON=OK=OL$

[ptj]

Знаем, че външните допирателни са равни. От това следва, че допирателните през пресечените точки на двойките окръжности се пресичат в една точка и тя е на равно разстояние от тях.

П.П. Върху лъч съюествува само една точка, намираща се на фиксирано растояние от неговото начало.

[Гост]

Знаем, че външните допирателни са равни. От това следва, че допирателните през пресечените точки на двойките окръжности се пресичат в една точка и тя е на равно разстояние от тях.

П.П. Върху лъч съюествува само една точка, намираща се на фиксирано растояние от неговото начало.

упорито твърдиш, че [tex](K,N,M,L)=(S,P,Q,R)?[/tex]

[ptj]

Прочети си условието на задачата и виж какво се иска да се докаже.

Чертежа на колежката е за съвсем различна задача. Тя доказва очевиден факт - в четириъгъкника определен от 4-те центъра може да се впише окръжност.

[S.B.]

Прочети си условието на задачата и виж какво се иска да се докаже.

Чертежа на колежката е за съвсем различна задача. Тя доказва очевиден факт - в четириъгъкника определен от 4-те центъра може да се впише окръжност.

При цялото ми уважение към Вас ,колега ptj в условието се иска да се докаже,че точките в които четирите окръжности се допират две по две една до друга ( на моя чертеж са означени с $K,L,M,N$ ) лежат на една окръжност.Аз доказвам,че тази окръжност е с център $O$ - центъра на вписаната в четириъгълника $O_{1 }O_{2 }O_{3 }O_{4 }$ окръжност и с радиус $r = OK = OL = OM = ON$ или простичко казано четирите точки лежат на една окръжност,на която само центъра съвпада с центъра на вписаната окръжност но не и радиуса.Радиуса на вписаната окръжност е $r_{1 } = OS = OP = OQ = OR$ където точките $S,P,Q,R$ са различни от точките $K,L,M,N$

[ptj]

О.К.
Не съм се ровил в доказателството ви, защото има други по-лесни и с по-малко писане.

[S.B.]

О.К.
Не съм се ровил в доказателството ви, защото има други по-лесни и с по-малко писане.

Ако Вие не сте се"ровили" в доказателството ми, тогава с кое право го коментирате публично като твърдите,че чертежът ми е за "съвсем различна задача" и че доказвам "очевиден факт" ? Чували ли сте някога понятието "етика",скъпи колега? Наистина и аз съм срещала доказателства,без чертежи и твърде странни ,но се въздържам да ги коментирам...

[Гост]

май тая задача е предвидена да се реши с инверсийка

[Knowledge Greedy]

Не.

Дадени са четири две по две външнодопиращи се окръжности с различни радиуси. Лежат ли допирните им точки на една окръжност?

Подчертаното - от мен, Knowledge Greedy.

Ето ви чертеж.

Правилният чертеж 1.png (2.8 KiB) Прегледано 507 пъти

Как виждате допирните им точки? Шест на брой - от [tex]{4 \choose 2}=6[/tex]
Няма как да са на една окръжност. Има кръг на окръжност, която минава през три от допирните точки и той съдържа в себе си останалите три. Това засега - чисто визуално.

[Гост]

твоят чертеж не отговаря на условието на задачата-една от окр. се допира до 3 други. Правилен чертеж има S.B.

[Knowledge Greedy]

твоят чертеж не отговаря на условието на задачата-една от окр. се допира до 3 други. Правилен чертеж има S.B.

Това: [tex]k_1[/tex] допира ли [tex]k_3[/tex], защо не го виждам?

Като се замисля, може и да имате право. Това е една от възможностите. Не съм постигнал в това пространство пълното условие.

Дадени са четири две по две външнодопиращи се окръжности с различни радиуси. Лежат ли допирните им точки на една окръжност?

Лингвистичен казус: допиращи се по двойки или да се разбира всяка с всяка - външнодопиращи се, но не и изключване на факта, че в този процес едната може да се окаже допираща се до всяка от останалите.

В такъв случай, ако Вие сте авторът на задачата, аранжирайте я така:
Дадени са четири окръжности с различни радиуси, всяка от които допира съседните си две. Лежат ли допирните им точки на една окръжност?

Или нещо в смисъла, в който S.B. се е потрудила да направи като чертеж.